Номер 450, страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

450. Решите графически систему уравнений:

1) $ \begin{cases} y = x + 2, \\ xy = 8; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} y = x^2 - 4, \\ 2x + y = -1; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x + y = 3, \\ x^2 + y^2 = 9. \end{cases} $

1) Для решения системы графическим методом построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

Первое уравнение: $y = x + 2$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Возьмём $x=0$, тогда $y=2$. Точка $(0; 2)$. Возьмём $x=-2$, тогда $y=0$. Точка $(-2; 0)$.

Второе уравнение: $xy = 8$. Выразим $y$ через $x$: $y = \frac{8}{x}$. Это обратная пропорциональность, её график — гипербола. Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Составим таблицу значений:

Построим графики прямой и гиперболы. Координаты точек пересечения графиков являются решением системы. Из чертежа видно, что графики пересекаются в двух точках: $(2; 4)$ и $(-4; -2)$.

Проверим:
Для точки $(2; 4)$: $4 = 2+2$ (верно), $2 \cdot 4 = 8$ (верно).
Для точки $(-4; -2)$: $-2 = -4+2$ (верно), $(-4) \cdot (-2) = 8$ (верно).

Ответ: $(2; 4), (-4; -2)$.

2) Построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

Первое уравнение: $y = x^2 - 4$. Это квадратичная функция, её график — парабола. Ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0; -4)$. Найдем точки пересечения с осью $Ox$: $x^2 - 4 = 0$, откуда $x_1=2, x_2=-2$. Точки $(2; 0)$ и $(-2; 0)$.

Второе уравнение: $2x + y = -1$. Выразим $y$: $y = -2x - 1$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения прямой найдем две точки. Если $x=0$, то $y=-1$. Точка $(0; -1)$. Если $x=1$, то $y=-3$. Точка $(1; -3)$.

Построим графики параболы и прямой. Координаты точек пересечения графиков являются решением системы. Из чертежа видно, что графики пересекаются в двух точках: $(-3; 5)$ и $(1; -3)$.

Проверим:
Для точки $(-3; 5)$: $5 = (-3)^2 - 4 = 9 - 4$ (верно), $2(-3) + 5 = -6 + 5 = -1$ (верно).
Для точки $(1; -3)$: $-3 = 1^2 - 4 = 1 - 4$ (верно), $2(1) + (-3) = 2 - 3 = -1$ (верно).

Ответ: $(-3; 5), (1; -3)$.

3) Построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

Первое уравнение: $x + y = 3$. Выразим $y$: $y = -x + 3$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения найдем точки пересечения с осями координат. Если $x=0$, то $y=3$. Точка $(0; 3)$. Если $y=0$, то $x=3$. Точка $(3; 0)$.

Второе уравнение: $x^2 + y^2 = 9$. Это уравнение окружности с центром в начале координат (точке $(0; 0)$) и радиусом $r = \sqrt{9} = 3$.

Построим прямую и окружность. Координаты точек пересечения графиков являются решением системы. Из чертежа видно, что прямая пересекает окружность в двух точках, которые мы уже нашли при построении прямой: $(3; 0)$ и $(0; 3)$.

Проверим:
Для точки $(3; 0)$: $3 + 0 = 3$ (верно), $3^2 + 0^2 = 9$ (верно).
Для точки $(0; 3)$: $0 + 3 = 3$ (верно), $0^2 + 3^2 = 9$ (верно).

Ответ: $(3; 0), (0; 3)$.