Страница 108 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Используя график функции $y = f(x)$, изображённый на рисунке 69, постройте график функции:

1) $y = |f(x)|$;

2) $y = |f(|x|)|$.

Поскольку изображение графика функции $y = f(x)$ (рисунок 69) не предоставлено, невозможно построить конкретные графики для заданных функций. Однако можно описать общий алгоритм построения для каждого случая, который можно применить к любому исходному графику $y = f(x)$.

1) y = |f(x)|

Для построения графика функции $y = |f(x)|$ на основе графика $y = f(x)$ необходимо выполнить следующее преобразование. Часть графика $y = f(x)$, которая расположена выше оси абсцисс ($Ox$) или на самой оси, сохраняется без изменений. Это соответствует случаю, когда $f(x) \ge 0$. Часть графика, что находится ниже оси абсцисс, то есть где $f(x) < 0$, должна быть симметрично отражена относительно оси $Ox$.

Это правило вытекает из определения модуля: $|f(x)| = f(x)$ при $f(x) \ge 0$, и $|f(x)| = -f(x)$ при $f(x) < 0$. Геометрически, умножение на $-1$ (преобразование в $-f(x)$) как раз и является симметричным отражением относительно оси $Ox$. В результате весь график функции $y = |f(x)|$ будет расположен в верхней полуплоскости ($y \ge 0$).

Ответ: Чтобы построить график функции $y = |f(x)|$, нужно оставить без изменений ту часть графика $y = f(x)$, которая находится выше или на оси $Ox$, а часть графика, которая находится ниже оси $Ox$, симметрично отразить относительно оси $Ox$.

2) y = |f(|x|)|

Построение графика функции $y = |f(|x|)|$ — это составное преобразование, которое удобно выполнить в два последовательных шага.

Шаг 1: Построение графика $y = f(|x|)$. Для этого сначала удаляется часть исходного графика $y = f(x)$, находящаяся в левой полуплоскости (где $x < 0$). Затем часть графика, находящаяся в правой полуплоскости и на оси $Oy$ (где $x \ge 0$), сохраняется и дополнительно симметрично отражается относительно оси ординат ($Oy$) в левую полуплоскость. В результате этого шага получается график, симметричный относительно оси $Oy$, так как функция $y = f(|x|)$ является четной ($f(|-x|) = f(|x|)$).

Шаг 2: Построение графика $y = |f(|x|)|$ из графика $y = f(|x|)$. На этом шаге к графику, полученному на шаге 1, применяется преобразование взятия модуля, как в пункте 1). То есть, части графика $y = f(|x|)$, которые находятся выше или на оси $Ox$, остаются без изменений, а части, которые находятся ниже оси $Ox$, симметрично отражаются относительно оси $Ox$.

Итоговый график $y = |f(|x|)|$ будет симметричен относительно оси $Oy$ и целиком расположен не ниже оси $Ox$.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = |f(|x|)|$, нужно сначала взять часть графика $y=f(x)$ при $x \ge 0$ и отразить ее симметрично относительно оси $Oy$ (удалив исходную часть при $x<0$), а затем для полученного графика ту часть, что лежит под осью $Ox$, отразить симметрично относительно оси $Ox$.

2. Используя график функции $y = x + 2$, постройте график функции $y = |x+2|$.

Для того чтобы построить график функции $y = |x+2|$, используя график функции $y = x+2$, выполним последовательно два шага: сначала построим исходный график, а затем применим к нему преобразование модуля.

1. Построение графика функции $y = x+2$.

Данная функция является линейной, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно определить координаты двух точек.

Найдем точки пересечения с осями координат:

• Если $x = 0$, то $y = 0 + 2 = 2$. Получаем точку $(0, 2)$.
• Если $y = 0$, то $0 = x + 2$, откуда $x = -2$. Получаем точку $(-2, 0)$.

Проведя прямую через эти две точки, мы получим график функции $y = x+2$.

2. Построение графика функции $y = |x+2|$.

По определению модуля, значение $y$ для функции $y = |x+2|$ не может быть отрицательным. Построение графика функции вида $y = |f(x)|$ из графика $y = f(x)$ осуществляется по следующему правилу:

1. Та часть графика функции $y = f(x)$, которая расположена в верхней полуплоскости (то есть выше или на оси OX), остается без изменений.
2. Та часть графика, которая расположена в нижней полуплоскости (ниже оси OX), симметрично отражается относительно оси OX.

Применим это правило к графику $y = x+2$:

• Прямая $y = x+2$ находится выше или на оси OX при $x+2 \ge 0$, то есть при $x \ge -2$. Этот участок графика — луч, начинающийся в точке $(-2, 0)$ и идущий вправо-вверх — мы оставляем без изменений.
• Прямая $y = x+2$ находится ниже оси OX при $x+2 < 0$, то есть при $x < -2$. Этот участок графика — луч, идущий из точки $(-2, 0)$ влево-вниз — мы должны симметрично отразить относительно оси OX. После отражения он станет лучом, идущим из точки $(-2, 0)$ влево-вверх.

Таким образом, график функции $y = |x+2|$ представляет собой "галочку" (или V-образную кривую), состоящую из двух лучей, выходящих из точки $(-2, 0)$.

Ответ: График функции $y=|x+2|$ получается из графика прямой $y=x+2$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс той части прямой, которая лежит ниже этой оси. Часть прямой, лежащая на и выше оси абсцисс, остается без изменений. В результате получается график, состоящий из двух лучей, с вершиной в точке $(-2, 0)$.