Страница 101 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

377. На рисунке 65 изображён график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$. Определите знаки коэффициентов $a, b$ и $c$.

Рис. 64

а

б

Рис. 65

а

б

Для определения знаков коэффициентов $a$, $b$ и $c$ квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ по её графику, воспользуемся следующими свойствами:

• Знак коэффициента $a$ определяется направлением ветвей параболы. Если ветви направлены вверх, то $a > 0$. Если ветви направлены вниз, то $a < 0$.
• Знак коэффициента $c$ определяется точкой пересечения графика с осью ординат (осью $y$). Так как значение функции при $x=0$ равно $c$ ($y(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c$), то если точка пересечения находится выше оси абсцисс (оси $x$), то $c > 0$. Если ниже, то $c < 0$. Если график проходит через начало координат, то $c = 0$.
• Знак коэффициента $b$ зависит от знака коэффициента $a$ и расположения вершины параболы. Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$. Из этой формулы можно выразить $b = -2ax_в$. Знак $b$ определяется из этого соотношения, анализируя знаки $a$ и $x_в$. В частности, если вершина находится левее оси $y$ ($x_в < 0$), то знаки $a$ и $b$ совпадают. Если вершина правее оси $y$ ($x_в > 0$), то знаки $a$ и $b$ противоположны.

а)

Рассмотрим график на рисунке 65, а.

1. Ветви параболы направлены вверх, следовательно, коэффициент $a$ положителен: $a > 0$.
2. График пересекает ось $y$ в точке с положительной ординатой (выше оси $x$). Так как $y(0) = c$, то коэффициент $c$ положителен: $c > 0$.
3. Вершина параболы находится в левой полуплоскости, то есть её абсцисса $x_в$ отрицательна: $x_в < 0$. Воспользуемся формулой $x_в = -\frac{b}{2a}$. Так как $x_в < 0$ и $a > 0$, получаем:
   $-\frac{b}{2a} < 0$
   $\frac{b}{2a} > 0$
   Поскольку $2a > 0$, для того чтобы дробь была положительной, числитель $b$ также должен быть положительным: $b > 0$.

Ответ: $a > 0, b > 0, c > 0$.

б)

Рассмотрим график на рисунке 65, б.

1. Ветви параболы направлены вниз, следовательно, коэффициент $a$ отрицательный: $a < 0$.
2. График пересекает ось $y$ в точке с отрицательной ординатой (ниже оси $x$). Так как $y(0) = c$, то коэффициент $c$ отрицательный: $c < 0$.
3. Вершина параболы находится в правой полуплоскости, то есть её абсцисса $x_в$ положительна: $x_в > 0$. Воспользуемся формулой $x_в = -\frac{b}{2a}$. Так как $x_в > 0$ и $a < 0$, получаем:
   $-\frac{b}{2a} > 0$
   $\frac{b}{2a} < 0$
   Поскольку знаменатель $2a$ отрицателен ($a < 0$), для того чтобы дробь была отрицательной, числитель $b$ должен быть положительным: $b > 0$.

Ответ: $a < 0, b > 0, c < 0$.

378. При каких значениях $p$ и $q$ вершина параболы $y = x^2 + px + q$ находится в точке $A(2; 5)$?

Для нахождения значений p и q воспользуемся свойствами вершины параболы. Уравнение параболы задано в виде $y = x^2 + px + q$. Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=1$, $b=p$ и $c=q$. Вершина параболы находится в точке A(2; 5).

Способ 1: Использование формулы координат вершины

Координата $x$ вершины параболы ($x_v$) вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. По условию задачи, $x_v = 2$, $a = 1$ и $b = p$. Подставим эти значения в формулу:

$2 = -\frac{p}{2 \cdot 1}$

Из этого уравнения находим значение p:

$2 = -\frac{p}{2}$

$p = -4$

Так как точка A(2; 5) является вершиной параболы, она принадлежит графику функции. Это означает, что ее координаты удовлетворяют уравнению параболы. Подставим значения $x=2$, $y=5$ и $p=-4$ в исходное уравнение $y = x^2 + px + q$:

$5 = (2)^2 + (-4) \cdot 2 + q$

$5 = 4 - 8 + q$

$5 = -4 + q$

Отсюда находим значение q:

$q = 5 + 4 = 9$

Способ 2: Использование вершинной формы уравнения параболы

Уравнение параболы можно записать в вершинной форме: $y = a(x - x_v)^2 + y_v$, где $(x_v, y_v)$ — координаты вершины. В нашем случае $a=1$ (коэффициент при $x^2$), $x_v = 2$ и $y_v = 5$. Подставим эти значения:

$y = 1 \cdot (x - 2)^2 + 5$

$y = (x - 2)^2 + 5$

Чтобы найти p и q, преобразуем это уравнение к стандартному виду $y = x^2 + px + q$, раскрыв скобки:

$y = (x^2 - 4x + 4) + 5$

$y = x^2 - 4x + 9$

Теперь сравним полученное уравнение с исходным $y = x^2 + px + q$. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем:

$p = -4$

$q = 9$

Ответ: $p=-4$, $q=9$.

379. Парабола $y = ax^2 + bx + c$ имеет вершину в точке $C(4; -10)$ и проходит через точку $D(1; -1)$. Найдите значения коэффициентов $a, b$ и $c$.

Для нахождения коэффициентов $a$, $b$ и $c$ параболы $y = ax^2 + bx + c$ воспользуемся её уравнением, записанным в вершинной форме: $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h; k)$ — координаты вершины параболы.

Согласно условию, вершина параболы находится в точке $C(4; -10)$. Это означает, что $h = 4$ и $k = -10$. Подставим эти значения в вершинную форму уравнения:

$y = a(x - 4)^2 - 10$

Теперь необходимо найти значение коэффициента $a$. Для этого используем информацию о том, что парабола проходит через точку $D(1; -1)$. Подставим координаты этой точки ($x=1$, $y=-1$) в полученное уравнение:

$-1 = a(1 - 4)^2 - 10$

Теперь решим это уравнение относительно $a$:

$-1 = a(-3)^2 - 10$
$-1 = 9a - 10$
$9a = 10 - 1$
$9a = 9$
$a = 1$

Мы нашли коэффициент $a=1$. Уравнение параболы теперь имеет вид: $y = 1 \cdot (x - 4)^2 - 10$.

Чтобы найти коэффициенты $b$ и $c$, нужно привести это уравнение к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$. Для этого раскроем скобки и упростим выражение:

$y = (x - 4)^2 - 10$
$y = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2) - 10$
$y = (x^2 - 8x + 16) - 10$
$y = x^2 - 8x + 6$

Сравнивая полученное уравнение $y = x^2 - 8x + 6$ с исходным видом $y = ax^2 + bx + c$, мы можем определить значения коэффициентов:

$a = 1$
$b = -8$
$c = 6$

Ответ: $a = 1, b = -8, c = 6$.

380. Найдите ординату вершины параболы, фрагмент которой изображён на рисунке 66.

380.

а) На графике параболы (Рис. 66а) видны две точки пересечения с осью абсцисс (корни): $x_1 = -4$ и $x_2 = 1$. Парабола симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через ее вершину. Поэтому абсцисса вершины $x_в$ находится как среднее арифметическое корней:
$x_в = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-4 + 1}{2} = \frac{-3}{2} = -1,5$.
Уравнение параболы можно записать через ее корни: $y = a(x - x_1)(x - x_2)$, что в нашем случае дает $y = a(x + 4)(x - 1)$.
Чтобы найти коэффициент $a$, используем еще одну точку с графика, например, $(0; -2)$. Подставим ее координаты:
$-2 = a(0 + 4)(0 - 1)$
$-2 = a \cdot 4 \cdot (-1)$
$-2 = -4a$
$a = 0,5$.
Итак, уравнение параболы: $y = 0,5(x + 4)(x - 1)$.
Теперь найдем ординату вершины $y_в$, подставив в уравнение $x_в = -1,5$:
$y_в = 0,5(-1,5 + 4)(-1,5 - 1) = 0,5 \cdot 2,5 \cdot (-2,5) = 0,5 \cdot (-6,25) = -3,125$.
Ответ: -3,125

б) На графике (Рис. 66б) парабола пересекает ось абсцисс в точках $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$. Найдем абсциссу вершины $x_в$:
$x_в = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
Уравнение параболы имеет вид $y = a(x - 1)(x - 5)$. Для нахождения коэффициента $a$ воспользуемся точкой с графика, например, $(2; 3)$. Подставим ее координаты:
$3 = a(2 - 1)(2 - 5)$
$3 = a \cdot 1 \cdot (-3)$
$3 = -3a$
$a = -1$.
Уравнение параболы: $y = -(x - 1)(x - 5)$.
Найдем ординату вершины, подставив $x_в = 3$:
$y_в = -(3 - 1)(3 - 5) = -(2)(-2) = 4$.
Ответ: 4

381.

На графике (Рис. 67) вершина параболы является ее самой нижней точкой. Координаты этой точки можно определить непосредственно с графика: $(1; 0)$.
Ордината вершины — это ее координата по оси $y$. В данном случае она равна 0.
Для проверки можно составить уравнение параболы. Уравнение параболы с вершиной в точке $(x_в; y_в)$ имеет вид $y = a(x - x_в)^2 + y_в$. Подставляя координаты вершины $(1; 0)$, получаем $y = a(x - 1)^2$.
Возьмем с графика другую точку, например, $(0; 1)$, и подставим ее в уравнение: $1 = a(0 - 1)^2$, откуда $a=1$.
Таким образом, уравнение параболы $y = (x - 1)^2$, и ордината ее вершины $y_в = 0$.
Ответ: 0

381. Найдите ординату вершины параболы, фрагмент которой изображён на рисунке 67.

Рис. 66

a

б

Рис. 67

Чтобы найти ординату вершины параболы, воспользуемся уравнением параболы в вершинной форме: $y = a(x - x_v)^2 + y_v$, где $(x_v, y_v)$ — координаты вершины параболы. Нам необходимо найти значение $y_v$.

Из графика на рисунке 67 видно, что парабола симметрична относительно оси $y$. Это означает, что абсцисса (координата $x$) вершины равна нулю: $x_v = 0$.Подставив это значение в уравнение, получим упрощенную форму: $y = a(x - 0)^2 + y_v$, то есть $y = ax^2 + y_v$.

Для нахождения неизвестных коэффициентов $a$ и $y_v$ выберем две точки на графике, через которые проходит парабола. Удобно взять точки с целочисленными координатами.
1. Точка пересечения с осью $x$: $(1, 0)$.
2. Другая точка на графике: $(2, 3)$.

Теперь подставим координаты этих точек в уравнение $y = ax^2 + y_v$ и получим систему из двух уравнений:
1. Для точки $(1, 0)$: $0 = a \cdot 1^2 + y_v \implies a + y_v = 0$.
2. Для точки $(2, 3)$: $3 = a \cdot 2^2 + y_v \implies 4a + y_v = 3$.

Решим полученную систему уравнений. Из первого уравнения выразим $a$: $a = -y_v$.Подставим это выражение во второе уравнение:
$4(-y_v) + y_v = 3$
$-4y_v + y_v = 3$
$-3y_v = 3$
$y_v = \frac{3}{-3} = -1$

Таким образом, ордината вершины параболы равна -1.
(Для проверки можем найти коэффициент $a = -y_v = -(-1) = 1$. Уравнение параболы: $y = x^2 - 1$. Проверим точку $(-2, 3)$: $3 = (-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$. Верно.)

Ответ: -1

382. Сумма двух чисел равна 10. Найдите:

1) какое наибольшее значение может принимать произведение этих чисел;

2) какое наименьшее значение может принимать сумма квадратов этих чисел.

1) какое наибольшее значение может принимать произведение этих чисел;

Пусть два числа — это $x$ и $y$. Согласно условию, их сумма равна 10, то есть $x + y = 10$. Необходимо найти наибольшее значение их произведения $P = xy$.

Выразим одну переменную через другую, например, $y = 10 - x$. Подставим это выражение в формулу для произведения, чтобы получить функцию от одной переменной:

$P(x) = x(10 - x) = 10x - x^2$

Функция $P(x) = -x^2 + 10x$ является квадратичной. Её график — парабола, ветви которой направлены вниз, поскольку коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-1$). Это означает, что функция достигает своего наибольшего значения в вершине параболы.

Абсциссу вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ находят по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $a = -1$ и $b = 10$.

$x_0 = -\frac{10}{2 \cdot (-1)} = 5$

Таким образом, максимальное значение произведение принимает при $x = 5$. Второе число $y$ будет равно $10 - 5 = 5$.

Наибольшее значение произведения составляет:

$P_{max} = 5 \cdot 5 = 25$

Ответ: 25

2) какое наименьшее значение может принимать сумма квадратов этих чисел.

Теперь необходимо найти наименьшее значение суммы квадратов этих же чисел, $S = x^2 + y^2$.

Используем ту же подстановку $y = 10 - x$:

$S(x) = x^2 + (10 - x)^2$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые, чтобы получить квадратичную функцию от $x$:

$S(x) = x^2 + (100 - 20x + x^2) = 2x^2 - 20x + 100$

Графиком функции $S(x)$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положительный ($2$). Следовательно, функция достигает своего наименьшего значения в вершине параболы.

Найдём абсциссу вершины. Здесь $a = 2$ и $b = -20$.

$x_0 = -\frac{-20}{2 \cdot 2} = \frac{20}{4} = 5$

Наименьшее значение суммы квадратов достигается при $x = 5$ и, соответственно, $y = 10 - 5 = 5$.

Вычислим это наименьшее значение:

$S_{min} = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$

Ответ: 50