Страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какую функцию называют квадратичной?

1. Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = ax^2 + bx + c$, где $x$ — независимая переменная, а $a, b$ и $c$ — некоторые числа, называемые коэффициентами.
Ключевое требование для квадратичной функции заключается в том, что старший коэффициент $a$ не должен быть равен нулю, то есть $a \neq 0$. Если $a = 0$, то слагаемое $ax^2$ обращается в ноль, и функция вырождается в линейную: $y = bx + c$.
Графиком квадратичной функции является кривая, называемая параболой.
Коэффициенты в формуле определяют вид и расположение параболы на координатной плоскости:
- Коэффициент $a$ отвечает за направление ветвей параболы. Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Если $a < 0$, ветви направлены вниз. Также модуль $|a|$ влияет на "крутизну" параболы.
- Коэффициент $b$ вместе с коэффициентом $a$ определяет положение вершины параболы. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
- Коэффициент $c$ (свободный член) — это ордината точки пересечения параболы с осью $y$. Это значение функции при $x=0$, то есть $y(0) = c$.
Областью определения квадратичной функции является множество всех действительных чисел $R$.

Ответ: Квадратичной функцией называют функцию, заданную формулой $y = ax^2 + bx + c$, где $x$ — независимая переменная, $a, b, c$ — некоторые числа, причём $a \neq 0$.

2. Какая фигура является графиком квадратичной функции?

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = ax^2 + bx + c$, где $x$ — независимая переменная, а $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа (коэффициенты), причем старший коэффициент $a$ не должен быть равен нулю ($a \neq 0$).

Графиком любой квадратичной функции является геометрическая фигура, которая называется параболой.

Парабола представляет собой симметричную U-образную кривую. Ее ключевые свойства определяются коэффициентами в уравнении функции:

Направление ветвей. Знак коэффициента $a$ определяет, куда направлены "ветви" параболы. Если $a > 0$, ветви направлены вверх. Если $a < 0$, ветви направлены вниз.

Вершина параболы. Это точка, в которой кривая меняет свое направление. Координаты вершины ($x_0, y_0$) можно найти по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$, а $y_0$ — подставив $x_0$ в уравнение функции. Вершина является точкой минимума функции при $a > 0$ и точкой максимума при $a < 0$.

Ось симметрии. Это вертикальная прямая $x = x_0$, проходящая через вершину параболы. Парабола симметрична относительно этой оси.

Простейшим примером является функция $y = x^2$. Ее график — это парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

Ответ: Парабола.

3. По какой формуле можно найти абсциссу вершины параболы

$y = ax^2 + bx + c$?

Абсцисса (координата по оси $x$) вершины параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, — это координата $x$ точки, в которой функция достигает своего экстремума (минимума, если ветви параболы направлены вверх при $a > 0$, или максимума, если ветви направлены вниз при $a < 0$). Формулу для нахождения этой координаты можно вывести несколькими способами.

Способ 1: Через производную
Вершина параболы является точкой экстремума. Необходимым условием экстремума для дифференцируемой функции является равенство её производной нулю.
1. Найдём производную функции $y(x) = ax^2 + bx + c$ по переменной $x$:
$y' = (ax^2 + bx + c)' = 2ax + b$
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти абсциссу вершины, которую обозначим как $x_0$:
$2ax_0 + b = 0$
3. Решим полученное линейное уравнение относительно $x_0$:
$2ax_0 = -b$
$x_0 = -\frac{b}{2a}$

Способ 2: Методом выделения полного квадрата
Уравнение параболы можно привести к каноническому виду $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0, y_0)$ — координаты вершины.
1. Вынесем коэффициент $a$ за скобки у слагаемых, содержащих $x$:
$y = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c$
2. Дополним выражение в скобках до полного квадрата. Для этого прибавим и вычтем квадрат половины коэффициента при $x$, то есть $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$:
$y = a\left(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right) + c$
3. Свернём полный квадрат по формуле $(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$:
$y = a\left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2}\right) + c$
4. Раскроем скобки и преобразуем выражение к каноническому виду:
$y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c$
$y = a\left(x - \left(-\frac{b}{2a}\right)\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$
Сравнивая полученное уравнение с видом $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, мы видим, что абсцисса вершины $x_0$ равна $-\frac{b}{2a}$.

Оба способа приводят к одной и той же формуле.

Ответ: Абсциссу вершины параболы $y=ax^2+bx+c$ можно найти по формуле: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

4. Какая прямая является осью симметрии параболы $y = ax^2 + bx + c$?

Осью симметрии параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, является вертикальная прямая, которая проходит через вершину этой параболы. Каждая точка параболы имеет симметричную ей точку относительно этой оси.

Для нахождения уравнения этой прямой необходимо найти абсциссу (координату $x$) вершины параболы. Координаты вершины $(x_0, y_0)$ можно найти, преобразовав уравнение к виду $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ с помощью метода выделения полного квадрата.

Проведем преобразование для общего уравнения параболы:

$y = ax^2 + bx + c$

Вынесем коэффициент $a$ за скобки:

$y = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$

Дополним выражение в скобках до полного квадрата. Для этого прибавим и вычтем квадрат половины второго коэффициента, то есть $(\frac{b}{2a})^2$:

$y = a(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2a} + (\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$

Теперь свернем полный квадрат:

$y = a((x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a^2}) + c$

Раскроем внешние скобки:

$y = a(x + \frac{b}{2a})^2 - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c$

$y = a(x - (-\frac{b}{2a}))^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$

Из полученного канонического вида уравнения видно, что абсцисса вершины параболы $x_0$ равна $-\frac{b}{2a}$.

Поскольку ось симметрии является вертикальной прямой, проходящей через вершину, ее уравнение имеет вид $x = x_0$. Следовательно, осью симметрии параболы $y = ax^2 + bx + c$ является прямая, заданная уравнением $x = -\frac{b}{2a}$.

Ответ: осью симметрии параболы $y = ax^2 + bx + c$ является прямая $x = -\frac{b}{2a}$.

5. Каково направление ветвей параболы $y = ax^2 + bx + c$ в зависимости от значения $a$?

Направление ветвей параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, полностью определяется знаком коэффициента $a$ при старшем члене $x^2$. Для того чтобы данное уравнение описывало параболу, коэффициент $a$ не должен быть равен нулю ($a \neq 0$).

Существует два основных случая в зависимости от знака коэффициента $a$:

Если $a > 0$ (коэффициент $a$ положительный)

В этом случае ветви параболы направлены вверх. Это означает, что при неограниченном увеличении или уменьшении переменной $x$ (т.е. при $x \to \pm\infty$), значение функции $y$ будет стремиться к плюс бесконечности ($+\infty$). Вершина такой параболы является точкой минимума функции.

Если $a < 0$ (коэффициент $a$ отрицательный)

В этом случае ветви параболы направлены вниз. Это означает, что при неограниченном увеличении или уменьшении переменной $x$ (т.е. при $x \to \pm\infty$), значение функции $y$ будет стремиться к минус бесконечности ($-\infty$). Вершина такой параболы является точкой максимума функции.

Ответ: Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх; если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

6. Опишите схему построения графика квадратичной функции.

Графиком квадратичной функции вида $y = ax^2 + bx + c$ (где $a \neq 0$) является кривая, называемая параболой. Для построения графика удобно использовать следующий алгоритм.

1. Определение направления ветвей параболы

   Направление ветвей параболы определяется знаком коэффициента $a$ при $x^2$.

   • Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
   • Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

   Ответ: Определено направление ветвей параболы.

2. Нахождение координат вершины параболы

   Вершина параболы — это точка, в которой функция достигает своего минимума (если $a>0$) или максимума (если $a<0$). Координаты вершины $(x_0; y_0)$ находятся по формулам:

   Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a}$

   Ордината вершины: для нахождения $y_0$ нужно подставить значение $x_0$ в исходное уравнение функции: $y_0 = y(x_0) = a(x_0)^2 + b(x_0) + c$.

   Прямая, проходящая через вершину параллельно оси Oy, то есть прямая $x = x_0$, является осью симметрии параболы.

   Ответ: Найдены координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$ и уравнение оси симметрии $x=x_0$.

3. Нахождение точек пересечения графика с осями координат

   Пересечение с осью ординат (осью Oy):
   Для нахождения этой точки нужно положить $x=0$ в уравнении функции:
   $y(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c$.
   Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0; c)$.

   Пересечение с осью абсцисс (осью Ox):
   Эти точки (также называемые нулями функции) находятся при условии $y=0$. Для этого нужно решить квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$.

   Вычисляем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.

   • Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня $x_1$ и $x_2$, которые вычисляются по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. График пересекает ось Ox в двух точках: $(x_1; 0)$ и $(x_2; 0)$.
   • Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень $x = -\frac{b}{2a}$. График касается оси Ox в одной точке — своей вершине.
   • Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. График не пересекает ось Ox и полностью расположен выше (при $a>0$) или ниже (при $a<0$) этой оси.

   Ответ: Найдены точки пересечения графика с осями координат (если они существуют).

4. Нахождение дополнительных точек

   Для большей точности построения можно найти еще несколько точек. В силу симметрии параболы относительно прямой $x=x_0$, для каждой точки с абсциссой $x_0 - k$ найдется симметричная ей точка с абсциссой $x_0 + k$, и ординаты у них будут одинаковы. Например, если мы знаем точку пересечения с осью Oy $(0; c)$, то можем найти симметричную ей точку $(2x_0; c)$. Также можно выбрать любое удобное значение $x$ (например, $x=1$) и вычислить для него соответствующее значение $y$.

   Ответ: Найдено несколько дополнительных точек для уточнения формы параболы.

5. Построение графика

   На координатной плоскости последовательно отмечаются все найденные точки: вершина, точки пересечения с осями координат, дополнительные точки. Затем, учитывая направление ветвей и симметричность, эти точки соединяются плавной линией.

   Ответ: Построен график квадратичной функции — парабола.

340. Какие из данных функций являются квадратичными:

1) $y = 4x^2 + 3x + 6;$

2) $y = 4x + 3;$

3) $y = \frac{1}{2x^2 - 3x + 2};$

4) $y = 6x^2 - 5x?$

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = ax^2 + bx + c$, где $x$ — независимая переменная, а $a, b$ и $c$ — некоторые числа, причем $a \neq 0$. Проанализируем каждую из предложенных функций на соответствие этому определению.

1) $y = 4x^2 + 3x + 6$
Эта функция задана в виде многочлена второй степени. Она полностью соответствует стандартному виду квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, где:
$a = 4$
$b = 3$
$c = 6$
Поскольку старший коэффициент $a = 4$ не равен нулю ($a \neq 0$), данная функция является квадратичной.
Ответ: является квадратичной.

2) $y = 4x + 3$
Это функция вида $y = kx + m$, которая является линейной. Если представить ее в виде $y = ax^2 + bx + c$, то коэффициенты будут:
$a = 0$
$b = 4$
$c = 3$
Так как коэффициент $a$ равен нулю, основное условие для квадратичной функции не выполняется.
Ответ: не является квадратичной.

3) $y = \frac{1}{2x^2 - 3x + 2}$
В этой функции независимая переменная $x$ находится в знаменателе дроби. Такие функции называются дробно-рациональными. Квадратичная функция должна быть многочленом второй степени, а данная функция многочленом не является.
Ответ: не является квадратичной.

4) $y = 6x^2 - 5x$
Эту функцию можно представить в стандартном виде $y = ax^2 + bx + c$, где:
$a = 6$
$b = -5$
$c = 0$
Поскольку старший коэффициент $a = 6$ не равен нулю ($a \neq 0$), данная функция является квадратичной.
Ответ: является квадратичной.