Страница 100 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

362. Найдите наименьшее значение функции $y = 3x^2 - 18x + 2$ на промежутке:

1) $[-1; 4];$

2) $[-4; 1];$

3) $[4; 5].$

Для нахождения наименьшего значения функции $y = 3x^2 - 18x + 2$ на заданном промежутке, сначала найдем точку минимума функции. Так как это парабола с ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), точка минимума будет в ее вершине. Для нахождения вершины найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

Производная функции:

$y' = (3x^2 - 18x + 2)' = 6x - 18$

Найдем критическую точку:

$y' = 0 \implies 6x - 18 = 0 \implies 6x = 18 \implies x = 3$

Точка $x=3$ является точкой минимума функции. Значение функции в этой точке:

$y(3) = 3(3)^2 - 18(3) + 2 = 3 \cdot 9 - 54 + 2 = 27 - 54 + 2 = -25$

Далее, для каждого заданного промежутка необходимо сравнить значение функции в точке минимума (если она входит в промежуток) и на концах этого промежутка.

1) [-1; 4]

Точка минимума $x=3$ принадлежит данному промежутку, так как $-1 \le 3 \le 4$.

Следовательно, нужно сравнить значения функции в точках $x=-1$, $x=3$ и $x=4$.

$y(-1) = 3(-1)^2 - 18(-1) + 2 = 3 + 18 + 2 = 23$

$y(3) = -25$

$y(4) = 3(4)^2 - 18(4) + 2 = 3 \cdot 16 - 72 + 2 = 48 - 72 + 2 = -22$

Среди значений $23$, $-25$ и $-22$ наименьшим является $-25$.

Ответ: $-25$.

2) [-4; 1]

Точка минимума $x=3$ не принадлежит данному промежутку, так как $3 > 1$.

В этом случае наименьшее значение функции на отрезке будет достигаться на одном из его концов. Вычислим значения функции в точках $x=-4$ и $x=1$.

$y(-4) = 3(-4)^2 - 18(-4) + 2 = 3 \cdot 16 + 72 + 2 = 48 + 72 + 2 = 122$

$y(1) = 3(1)^2 - 18(1) + 2 = 3 - 18 + 2 = -13$

Среди значений $122$ и $-13$ наименьшим является $-13$.

Ответ: $-13$.

3) [4; 5]

Точка минимума $x=3$ не принадлежит данному промежутку, так как $3 < 4$.

Наименьшее значение функции на отрезке будет достигаться на одном из его концов. Вычислим значения функции в точках $x=4$ и $x=5$.

$y(4) = 3(4)^2 - 18(4) + 2 = 3 \cdot 16 - 72 + 2 = 48 - 72 + 2 = -22$

$y(5) = 3(5)^2 - 18(5) + 2 = 3 \cdot 25 - 90 + 2 = 75 - 90 + 2 = -13$

Среди значений $-22$ и $-13$ наименьшим является $-22$.

Ответ: $-22$.

363. Найдите наибольшее значение функции $y = -x^2 - 8x + 10$ на промежутке:

1) $[-5; -3];$

2) $[-1; 0];$

3) $[-11; -10].$

Чтобы найти наибольшее значение функции на заданном промежутке, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки функции, приравняв производную к нулю.
3. Проверить, принадлежат ли критические точки заданному промежутку.
4. Вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих промежутку, и на концах этого промежутка.
5. Выбрать наибольшее из полученных значений.

Данная функция: $y = -x^2 - 8x + 10$.

1. Находим производную функции:

$y' = (-x^2 - 8x + 10)' = -2x - 8$

2. Находим критические точки:

$y' = 0 \implies -2x - 8 = 0$

$-2x = 8$

$x = -4$

Критическая точка функции — $x = -4$. Это точка максимума, так как график функции — парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицательный).

Теперь рассмотрим каждый промежуток отдельно.

1) $[-5; -3]$

Критическая точка $x = -4$ принадлежит промежутку $[-5; -3]$.

Вычислим значения функции в этой точке и на концах промежутка:

• $y(-5) = -(-5)^2 - 8(-5) + 10 = -25 + 40 + 10 = 25$
• $y(-4) = -(-4)^2 - 8(-4) + 10 = -16 + 32 + 10 = 26$
• $y(-3) = -(-3)^2 - 8(-3) + 10 = -9 + 24 + 10 = 25$

Сравнивая полученные значения $25$, $26$ и $25$, видим, что наибольшее из них равно $26$.

Ответ: 26

2) $[-1; 0]$

Критическая точка $x = -4$ не принадлежит промежутку $[-1; 0]$.

Следовательно, наибольшее значение функции на этом отрезке достигается на одном из его концов. Вычислим значения функции на концах промежутка:

• $y(-1) = -(-1)^2 - 8(-1) + 10 = -1 + 8 + 10 = 17$
• $y(0) = -(0)^2 - 8(0) + 10 = 0 - 0 + 10 = 10$

Сравнивая значения $17$ и $10$, видим, что наибольшее из них равно $17$.

Ответ: 17

3) $[-11; -10]$

Критическая точка $x = -4$ не принадлежит промежутку $[-11; -10]$.

Следовательно, наибольшее значение функции на этом отрезке также достигается на одном из его концов. Вычислим значения функции на концах промежутка:

• $y(-11) = -(-11)^2 - 8(-11) + 10 = -121 + 88 + 10 = -23$
• $y(-10) = -(-10)^2 - 8(-10) + 10 = -100 + 80 + 10 = -10$

Сравнивая значения $-23$ и $-10$, видим, что наибольшее из них равно $-10$.

Ответ: -10

364. При каких значениях $p$ и $q$ график функции $y = x^2 + px + q$ проходит через точки $M(-1; 4)$ и $K(2; 10)$?

Для того чтобы график функции $y = x^2 + px + q$ проходил через заданные точки, координаты этих точек должны удовлетворять уравнению функции. Подставим координаты точек $M(-1; 4)$ и $K(2; 10)$ в уравнение, чтобы составить систему уравнений относительно неизвестных параметров $p$ и $q$.

1. Для точки $M(-1; 4)$ имеем $x = -1$ и $y = 4$. Подставляем эти значения в уравнение функции:

$4 = (-1)^2 + p \cdot (-1) + q$

$4 = 1 - p + q$

$q - p = 3$ (это первое уравнение системы)

2. Для точки $K(2; 10)$ имеем $x = 2$ и $y = 10$. Подставляем эти значения в уравнение функции:

$10 = 2^2 + p \cdot 2 + q$

$10 = 4 + 2p + q$

$q + 2p = 6$ (это второе уравнение системы)

Теперь у нас есть система двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} q - p = 3 \\ q + 2p = 6 \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки или сложения. Удобно вычесть первое уравнение из второго, чтобы исключить переменную $q$:

$(q + 2p) - (q - p) = 6 - 3$

$q + 2p - q + p = 3$

$3p = 3$

$p = 1$

Теперь, зная значение $p=1$, подставим его в первое уравнение системы ($q - p = 3$), чтобы найти $q$:

$q - 1 = 3$

$q = 4$

Итак, мы нашли значения параметров, при которых график функции проходит через заданные точки.

Ответ: $p = 1$, $q = 4$.

365. При каких значениях a и b нулями функции $y = ax^2 + bx + 7$ являются числа -2 и 3?

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. По условию, числа $-2$ и $3$ являются нулями функции $y = ax^2 + bx + 7$. Это означает, что при подстановке $x = -2$ и $x = 3$ в уравнение функции, значение $y$ будет равно $0$.

На основе этого мы можем составить систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, $a$ и $b$.

1. Подставим первый нуль функции, $x = -2$, в уравнение $y = ax^2 + bx + 7$:

$a(-2)^2 + b(-2) + 7 = 0$

$a \cdot 4 - 2b + 7 = 0$

$4a - 2b = -7$

2. Подставим второй нуль функции, $x = 3$, в то же уравнение:

$a(3)^2 + b(3) + 7 = 0$

$a \cdot 9 + 3b + 7 = 0$

$9a + 3b = -7$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} 4a - 2b = -7 \\ 9a + 3b = -7 \end{cases}$

Для решения этой системы применим метод сложения. Умножим обе части первого уравнения на $3$, а обе части второго уравнения на $2$, чтобы коэффициенты при переменной $b$ стали противоположными по знаку:

$3 \cdot (4a - 2b) = 3 \cdot (-7) \implies 12a - 6b = -21$

$2 \cdot (9a + 3b) = 2 \cdot (-7) \implies 18a + 6b = -14$

Теперь сложим полученные уравнения почленно:

$(12a - 6b) + (18a + 6b) = -21 + (-14)$

$30a = -35$

Найдем значение $a$:

$a = \frac{-35}{30} = -\frac{7 \cdot 5}{6 \cdot 5} = -\frac{7}{6}$

Теперь, когда мы нашли $a$, подставим это значение в любое из исходных уравнений, чтобы найти $b$. Воспользуемся вторым уравнением $9a + 3b = -7$:

$9 \cdot \left(-\frac{7}{6}\right) + 3b = -7$

$-\frac{63}{6} + 3b = -7$

Сократим дробь:

$-\frac{21}{2} + 3b = -7$

Перенесем число в правую часть уравнения:

$3b = -7 + \frac{21}{2}$

$3b = -\frac{14}{2} + \frac{21}{2}$

$3b = \frac{7}{2}$

Найдем значение $b$:

$b = \frac{7}{2} \div 3 = \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{7}{6}$

Итак, искомые значения коэффициентов: $a = -7/6$ и $b = 7/6$.

Ответ: $a = -\frac{7}{6}$, $b = \frac{7}{6}$.

366. При каких значениях $a$ и $b$ парабола $y = ax^2 + bx - 4$ проходит через точки $C(-3; 8)$ и $D(1; 4)$?

Для того чтобы парабола $y = ax^2 + bx - 4$ проходила через указанные точки, их координаты должны удовлетворять уравнению параболы. Мы можем подставить координаты каждой точки в уравнение, чтобы получить систему из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$.

1. Подставим координаты точки $C(-3; 8)$ в уравнение $y = ax^2 + bx - 4$:

$8 = a(-3)^2 + b(-3) - 4$

$8 = 9a - 3b - 4$

Перенесем свободный член в левую часть:

$8 + 4 = 9a - 3b$

$12 = 9a - 3b$

Для удобства разделим все члены уравнения на 3:

$4 = 3a - b$

Это наше первое уравнение.

2. Теперь подставим координаты точки $D(1; 4)$ в то же уравнение:

$4 = a(1)^2 + b(1) - 4$

$4 = a + b - 4$

Перенесем свободный член в левую часть:

$4 + 4 = a + b$

$8 = a + b$

Это наше второе уравнение.

3. Теперь решим полученную систему уравнений:

$\begin{cases} 3a - b = 4 \\ a + b = 8 \end{cases}$

Наиболее удобный способ решения — метод сложения. Сложим левые и правые части уравнений:

$(3a - b) + (a + b) = 4 + 8$

$4a = 12$

Отсюда находим значение $a$:

$a = \frac{12}{4} = 3$

Теперь подставим найденное значение $a = 3$ в любое из уравнений системы, например, во второе ($a + b = 8$), чтобы найти $b$:

$3 + b = 8$

$b = 8 - 3 = 5$

Таким образом, искомые значения коэффициентов: $a = 3$ и $b = 5$.

Ответ: $a = 3$, $b = 5$.

367. Пусть $D$ — дискриминант квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$. Изобразите схематически график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, если:

1) $a > 0$, $D > 0$, $c > 0$, $-\frac{b}{2a} > 0$;

2) $a > 0$, $D = 0$, $-\frac{b}{2a} < 0$;

3) $a < 0$, $D < 0$, $-\frac{b}{2a} > 0$;

4) $a < 0$, $c = 0$, $-\frac{b}{2a} < 0$.

Для схематического изображения графика квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ проанализируем влияние каждого параметра и условия на вид параболы.

• Коэффициент $a$ определяет направление ветвей параболы: если $a > 0$, ветви направлены вверх; если $a < 0$, ветви направлены вниз.
• Дискриминант $D = b^2 - 4ac$ определяет количество точек пересечения параболы с осью абсцисс (Ox): если $D > 0$, то две точки пересечения; если $D = 0$, то одна точка касания (вершина параболы); если $D < 0$, то точек пересечения нет.
• Коэффициент $c$ определяет точку пересечения параболы с осью ординат (Oy), это точка $(0, c)$.
• Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Знак $x_0$ показывает, в левой ($x_0 < 0$) или правой ($x_0 > 0$) полуплоскости относительно оси Oy находится вершина.

1) Даны условия: $a > 0$, $D > 0$, $c > 0$, $-\frac{b}{2a} > 0$.
- Из $a > 0$ следует, что ветви параболы направлены вверх.
- Из $D > 0$ следует, что парабола пересекает ось Ox в двух различных точках.
- Из $c > 0$ следует, что парабола пересекает ось Oy в точке выше начала координат.
- Из $x_0 = -\frac{b}{2a} > 0$ следует, что вершина параболы находится в правой полуплоскости (правее оси Oy).
Так как ветви направлены вверх, а вершина находится правее оси Oy, то для того чтобы парабола пересекала ось Ox в двух точках, ее вершина должна находиться ниже оси Ox. Таким образом, вершина параболы расположена в IV координатной четверти.

Ответ: Схематический график — это парабола с ветвями вверх, вершина которой расположена в IV четверти. Парабола пересекает ось Ox в двух точках и ось Oy в положительной точке.

2) Даны условия: $a > 0$, $D = 0$, $-\frac{b}{2a} < 0$.
- Из $a > 0$ следует, что ветви параболы направлены вверх.
- Из $D = 0$ следует, что парабола имеет одну общую точку с осью Ox, то есть касается её. Эта точка касания является вершиной параболы.
- Из $x_0 = -\frac{b}{2a} < 0$ следует, что абсцисса вершины параболы отрицательна, то есть вершина находится в левой полуплоскости.
Совмещая условия, получаем, что вершина параболы лежит на отрицательной части оси Ox. Парабола с ветвями вверх касается оси Ox слева от начала координат.

Ответ: Схематический график — это парабола с ветвями вверх, которая касается оси Ox в точке с отрицательной абсциссой.

3) Даны условия: $a < 0$, $D < 0$, $-\frac{b}{2a} > 0$.
- Из $a < 0$ следует, что ветви параболы направлены вниз.
- Из $D < 0$ следует, что парабола не имеет общих точек с осью Ox. Поскольку ветви направлены вниз, вся парабола целиком лежит ниже оси Ox.
- Из $x_0 = -\frac{b}{2a} > 0$ следует, что вершина параболы находится в правой полуплоскости.
Вершина параболы является ее наивысшей точкой. Так как вся парабола под осью Ox, вершина тоже под осью Ox. Учитывая, что абсцисса вершины положительна, вершина находится в IV координатной четверти.

Ответ: Схематический график — это парабола с ветвями вниз, полностью расположенная под осью Ox, с вершиной в IV координатной четверти.

4) Даны условия: $a < 0$, $c = 0$, $-\frac{b}{2a} < 0$.
- Из $a < 0$ следует, что ветви параболы направлены вниз.
- Из $c = 0$ следует, что парабола проходит через начало координат $(0, 0)$.
- Из $x_0 = -\frac{b}{2a} < 0$ следует, что вершина параболы находится в левой полуплоскости.
Поскольку парабола проходит через точку $(0, 0)$ и ее вершина находится левее оси Oy, то ордината вершины должна быть положительной (так как ветви направлены вниз). Следовательно, вершина параболы находится во II координатной четверти. Прохождение через $(0, 0)$ означает, что один из корней уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ равен нулю. Так как вершина не в этой точке, должен быть и второй корень. Второй корень $x_2 = -b/a$. Из условий $a < 0$ и $-\frac{b}{2a} < 0$ следует, что $b < 0$, а значит $x_2 < 0$. Таким образом, парабола пересекает ось Ox в точках $0$ и $x_2 < 0$.

Ответ: Схематический график — это парабола с ветвями вниз, вершина которой находится во II координатной четверти. Парабола проходит через начало координат и пересекает ось Ox в еще одной точке с отрицательной абсциссой.

368. Пусть $D$ — дискриминант квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$. Изобразите схематически график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, если:

1) $a > 0, D < 0, - \frac{b}{2a} < 0;$

2) $a < 0, D > 0, c < 0, - \frac{b}{2a} > 0;$

3) $a < 0, D = 0, - \frac{b}{2a} < 0.$

Проанализируем заданные условия для построения графика квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$:
• Коэффициент $a > 0$ означает, что ветви параболы направлены вверх.
• Дискриминант $D < 0$ означает, что уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней. Следовательно, график функции не пересекает ось абсцисс (ось Ox).
• Абсцисса вершины параболы $x_0 = -\frac{b}{2a} < 0$. Это значит, что вершина параболы находится в левой полуплоскости (левее оси ординат Oy).
Так как ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось Ox, то вся парабола расположена выше оси Ox. Учитывая, что вершина находится в левой полуплоскости, делаем вывод, что она расположена во второй координатной четверти.

Ответ: Схематический график — это парабола, ветви которой направлены вверх, расположенная полностью в верхней полуплоскости, с вершиной во второй координатной четверти.

Проанализируем заданные условия для построения графика квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$:
• Коэффициент $a < 0$ означает, что ветви параболы направлены вниз.
• Дискриминант $D > 0$ означает, что уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два различных действительных корня. Следовательно, график функции пересекает ось абсцисс (ось Ox) в двух точках.
• Свободный член $c < 0$. Так как $y(0) = c$, это означает, что парабола пересекает ось ординат (ось Oy) в точке с отрицательной ординатой (ниже оси Ox).
• Абсцисса вершины параболы $x_0 = -\frac{b}{2a} > 0$. Это значит, что вершина параболы находится в правой полуплоскости (правее оси Oy).
Так как ветви параболы направлены вниз и она пересекает ось Ox, её вершина должна быть расположена выше оси Ox. Учитывая, что $x_0 > 0$, делаем вывод, что вершина параболы находится в первой координатной четверти. Это согласуется с условием $c < 0$.

Ответ: Схематический график — это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в первой координатной четверти. Парабола пересекает ось Ox в двух точках и ось Oy в точке ниже начала координат.

Проанализируем заданные условия для построения графика квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$:
• Коэффициент $a < 0$ означает, что ветви параболы направлены вниз.
• Дискриминант $D = 0$ означает, что уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет ровно один действительный корень. Следовательно, график функции касается оси абсцисс (оси Ox) в одной точке, которая является вершиной параболы.
• Абсцисса вершины параболы $x_0 = -\frac{b}{2a} < 0$. Это значит, что вершина параболы находится в левой полуплоскости (левее оси Oy).
Совмещая условия, получаем, что вершина параболы лежит на оси Ox в точке с отрицательной абсциссой. Ветви параболы направлены вниз, и вся парабола, за исключением вершины, расположена в нижней полуплоскости.

Ответ: Схематический график — это парабола, ветви которой направлены вниз, расположенная в нижней полуплоскости, которая касается оси Ox в одной точке с отрицательной абсциссой.

369. При каком значении $b$ промежуток $(-\infty; 2]$ является промежутком возрастания функции $y = -4x^2 - bx + 5$?

Заданная функция $y = -4x^2 - bx + 5$ является квадратичной, её график — парабола. Коэффициент при старшем члене $a = -4$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

У параболы с ветвями, направленными вниз, есть одна точка максимума — вершина. Функция возрастает на промежутке от $-\infty$ до абсциссы вершины $(x_v)$ и убывает на промежутке от абсциссы вершины до $+\infty$. Таким образом, промежуток возрастания для такой функции имеет вид $(-\infty, x_v]$.

Согласно условию задачи, промежуток возрастания функции — это $(-\infty, 2]$. Сравнивая этот промежуток с общим видом промежутка возрастания $(-\infty, x_v]$, мы можем заключить, что абсцисса вершины параболы должна быть равна 2. $x_v = 2$.

Абсцисса вершины параболы $y = ax^2 + kx + c$ находится по формуле $x_v = -k / (2a)$. В нашем случае, для функции $y = -4x^2 - bx + 5$, коэффициенты равны $a = -4$ и $k = -b$. Подставим эти значения в формулу: $x_v = -(-b) / (2 \cdot (-4)) = b / (-8) = -b/8$.

Теперь, зная, что $x_v = 2$, составим и решим уравнение: $-b/8 = 2$ $-b = 2 \cdot 8$ $-b = 16$ $b = -16$

Ответ: $b = -16$.

370. При каком значении $b$ промежуток $(-\infty; -3]$ является промежутком убывания функции $y = 3x^2 + bx - 8$?

Функция $y = 3x^2 + bx - 8$ является квадратичной. Графиком этой функции является парабола.

Коэффициент при старшем члене $x^2$ равен 3. Так как $a = 3 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

У параболы с ветвями, направленными вверх, есть точка минимума — вершина параболы. Слева от вершины функция убывает, а справа — возрастает.

Следовательно, промежуток убывания данной функции — это луч $(-\infty; x_в]$, где $x_в$ — абсцисса (координата по оси x) вершины параболы.

Абсцисса вершины параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, вычисляется по формуле: $x_в = -\frac{b}{2a}$

Для нашей функции $y = 3x^2 + bx - 8$, имеем $a = 3$. Подставим это значение в формулу: $x_в = -\frac{b}{2 \cdot 3} = -\frac{b}{6}$

По условию задачи, промежуток убывания функции — это $(-\infty; -3]$. Это означает, что абсцисса вершины параболы должна быть равна -3. $x_в = -3$

Теперь приравняем два выражения для $x_в$ и найдем значение параметра $b$: $-\frac{b}{6} = -3$

Чтобы найти $b$, умножим обе части уравнения на -6: $b = -3 \cdot (-6)$ $b = 18$

Ответ: 18

371. При каком значении $a$ функция $y = ax^2 + (a - 2)x + \frac{1}{4}$ является квадратичной и её график имеет с осью абсцисс одну общую точку?

Для решения задачи необходимо выполнить два условия, указанных в вопросе.

1. Функция является квадратичной.

Функция $y = ax^2 + (a-2)x + \frac{1}{4}$ является квадратичной, если коэффициент при старшем члене ($x^2$) не равен нулю. В данном случае этот коэффициент равен $a$.
Следовательно, первое условие: $a \neq 0$.

2. График функции имеет с осью абсцисс одну общую точку.

График функции имеет с осью абсцисс (осью $Ox$) одну общую точку, если квадратное уравнение $ax^2 + (a-2)x + \frac{1}{4} = 0$ имеет ровно один корень. Это происходит, когда дискриминант $D$ этого уравнения равен нулю.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$, где коэффициенты уравнения:
$a_k = a$
$b_k = a-2$
$c_k = \frac{1}{4}$

Приравняем дискриминант к нулю и решим полученное уравнение относительно $a$:
$D = (a-2)^2 - 4 \cdot a \cdot \frac{1}{4} = 0$
$(a-2)^2 - a = 0$
$a^2 - 4a + 4 - a = 0$
$a^2 - 5a + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $a$. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Корнями являются $a_1 = 1$ и $a_2 = 4$.
Либо можно решить через дискриминант для этого уравнения:
$D_a = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$
$a_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 3}{2}$
$a_1 = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$a_2 = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Объединение условий.

Мы получили два возможных значения для $a$: $1$ и $4$. Оба этих значения удовлетворяют первому условию ($a \neq 0$).
Следовательно, оба значения являются решениями задачи.

Ответ: при $a=1$ и $a=4$.

372. При каких значениях $a$ функция $y = 0,5x^2 - 3x + a$ принимает неотрицательные значения при всех действительных значениях $x$?

Данная функция $y = 0,5x^2 - 3x + a$ является квадратичной. Графиком этой функции является парабола.

Коэффициент при старшем члене $x^2$ равен $0,5$, что является положительным числом. Это означает, что ветви параболы направлены вверх.

Условие, что функция принимает неотрицательные значения при всех действительных значениях $x$, означает, что $y \ge 0$ для любого действительного $x$.

Для параболы с ветвями, направленными вверх, это условие выполняется в том случае, если её вершина находится на оси абсцисс или выше неё. Это, в свою очередь, означает, что соответствующее квадратное уравнение $0,5x^2 - 3x + a = 0$ должно иметь не более одного действительного корня (один корень, если парабола касается оси $Ox$, и ноль корней, если парабола целиком лежит выше оси $Ox$).

Количество действительных корней квадратного уравнения определяется его дискриминантом $D$. Условие "не более одного корня" равносильно неравенству $D \le 0$.

Вычислим дискриминант для нашего уравнения, где коэффициенты равны $A=0,5$, $B=-3$, $C=a$:

$D = B^2 - 4AC = (-3)^2 - 4 \cdot 0,5 \cdot a = 9 - 2a$

Теперь решим неравенство $D \le 0$ относительно параметра $a$:

$9 - 2a \le 0$

Перенесем $2a$ в правую часть:

$9 \le 2a$

Разделим обе части на 2:

$4,5 \le a$

Это можно записать как $a \ge 4,5$.

Таким образом, функция принимает неотрицательные значения при всех действительных значениях $x$, если параметр $a$ не меньше $4,5$.

Ответ: $a \ge 4,5$.

373. При каких значениях $a$ функция $y = -4x^2 - 16x + a$ принимает отрицательные значения при всех действительных значениях $x$?

Данная функция $y = -4x^2 - 16x + a$ является квадратичной. Графиком квадратичной функции является парабола.

Коэффициент при старшем члене $x^2$ равен $-4$. Так как $-4 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Для того чтобы функция принимала отрицательные значения при всех действительных значениях $x$, ее график должен быть полностью расположен ниже оси абсцисс (оси Ox). Это означает, что парабола не должна пересекать ось Ox и не должна касаться ее. Следовательно, квадратное уравнение $-4x^2 - 16x + a = 0$ не должно иметь действительных корней.

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ строго меньше нуля ($D < 0$).

Вычислим дискриминант для уравнения $-4x^2 - 16x + a = 0$. Коэффициенты здесь: $a_{коэф} = -4$, $b = -16$, $c = a$.

$D = b^2 - 4a_{коэф}c = (-16)^2 - 4 \cdot (-4) \cdot a = 256 + 16a$.

Теперь составим и решим неравенство $D < 0$:

$256 + 16a < 0$

$16a < -256$

$a < \frac{-256}{16}$

$a < -16$

Этот же результат можно получить другим способом. Так как ветви параболы направлены вниз, ее наибольшее значение находится в вершине. Если наибольшее значение функции будет отрицательным, то и все остальные ее значения также будут отрицательными.

Найдем ординату вершины параболы $y_0$.

Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a_{коэф}} = -\frac{-16}{2 \cdot (-4)} = -2$.

Ордината вершины (наибольшее значение функции): $y_0 = y(x_0) = -4(-2)^2 - 16(-2) + a = -4(4) + 32 + a = -16 + 32 + a = 16 + a$.

Поставим условие, что наибольшее значение функции меньше нуля:

$y_0 < 0$

$16 + a < 0$

$a < -16$

Таким образом, при $a < -16$ функция $y = -4x^2 - 16x + a$ принимает отрицательные значения при всех действительных значениях $x$.

Ответ: $a < -16$.

374. При каком значении c наибольшее значение функции $y = -5x^2 + 10x + c$ равно -3?

Функция $y = -5x^2 + 10x + c$ является квадратичной. Её график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a=-5$), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция достигает своего наибольшего значения в вершине параболы.

Координата $x$ вершины параболы находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Для данной функции $a=-5$ и $b=10$:
$x_v = -\frac{10}{2 \cdot (-5)} = -\frac{10}{-10} = 1$.

Наибольшее значение функции — это координата $y$ вершины. Чтобы найти её, подставим $x_v = 1$ в уравнение функции:
$y_{наиб} = -5(1)^2 + 10(1) + c = -5 + 10 + c = 5 + c$.

По условию задачи, наибольшее значение функции равно -3. Составим и решим уравнение, чтобы найти $c$:
$5 + c = -3$
$c = -3 - 5$
$c = -8$.

Ответ: $c = -8$.

375. При каком значении $c$ наименьшее значение функции $y = 0.6x^2 - 6x + c$ равно $-1$?

Дана квадратичная функция $y = 0.6x^2 - 6x + c$. Графиком этой функции является парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a = 0.6 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Следовательно, функция имеет наименьшее значение в своей вершине.

Координаты вершины параболы вида $y = ax^2 + bx + c$ находятся по формулам. Абсцисса (координата $x$) вершины вычисляется как $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Ордината (координата $y$) вершины, которая и является наименьшим значением функции, равна значению функции в точке $x_0$, то есть $y_0 = y(x_0)$.

Для данной функции коэффициенты равны: $a = 0.6$, $b = -6$. Найдем абсциссу вершины параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 0.6} = \frac{6}{1.2} = \frac{60}{12} = 5$.

Теперь найдем ординату вершины, подставив $x_0 = 5$ в уравнение функции. Это и будет выражение для наименьшего значения функции через $c$: $y_{наим} = 0.6 \cdot (5)^2 - 6 \cdot 5 + c$ $y_{наим} = 0.6 \cdot 25 - 30 + c$ $y_{наим} = 15 - 30 + c$ $y_{наим} = c - 15$

По условию задачи, наименьшее значение функции равно $-1$. Приравняем полученное выражение к этому значению: $c - 15 = -1$

Решим полученное уравнение относительно $c$: $c = -1 + 15$ $c = 14$

Ответ: 14

376. На рисунке 64 изображён график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$. Определите знаки коэффициентов $a, b$ и $c$.

Для определения знаков коэффициентов a, b и c квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ по её графику, необходимо проанализировать следующие характеристики параболы. Так как сам рисунок 64 в задании отсутствует, приведём общий алгоритм.

Определение знака коэффициента a

Коэффициент a отвечает за направление ветвей параболы.
• Если ветви параболы направлены вверх, то $a > 0$.
• Если ветви параболы направлены вниз, то $a < 0$.

Определение знака коэффициента c

Коэффициент c представляет собой значение функции при $x=0$, то есть $y(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c$. Геометрически это ордината точки пересечения графика с осью $Oy$.
• Если парабола пересекает ось $Oy$ выше оси $Ox$ (в области положительных значений $y$), то $c > 0$.
• Если парабола пересекает ось $Oy$ ниже оси $Ox$ (в области отрицательных значений $y$), то $c < 0$.
• Если парабола проходит через начало координат $(0, 0)$, то $c = 0$.

Определение знака коэффициента b

Знак коэффициента b связан с расположением вершины параболы. Абсцисса (координата $x$) вершины параболы находится по формуле: $x_в = -\frac{b}{2a}$.

Из этой формулы можно выразить $b$: $b = -2ax_в$.

Для определения знака $b$ нужно знать знаки $a$ и $x_в$:
• Знак $a$ мы определяем по направлению ветвей.
• Знак $x_в$ мы определяем по расположению вершины относительно оси $Oy$. Если вершина находится в правой полуплоскости (правее оси $Oy$), то $x_в > 0$. Если в левой полуплоскости (левее оси $Oy$), то $x_в < 0$.

Рассмотрим возможные комбинации:
1. Вершина в правой полуплоскости ($x_в > 0$). В этом случае $a$ и $b$ имеют противоположные знаки.
- Если ветви вверх ($a > 0$), то $b = -2(+) (+) < 0$.
- Если ветви вниз ($a < 0$), то $b = -2(-) (+) > 0$.
2. Вершина в левой полуплоскости ($x_в < 0$). В этом случае $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки.
- Если ветви вверх ($a > 0$), то $b = -2(+) (-) > 0$.
- Если ветви вниз ($a < 0$), то $b = -2(-) (-) < 0$.
3. Вершина на оси $Oy$ ($x_в = 0$). В этом случае $b=0$.

Ответ:

Поскольку изображение графика (рисунок 64) отсутствует, дать однозначный ответ для конкретной задачи невозможно. Ответ зависит от вида параболы, изображенной на рисунке. Для определения знаков коэффициентов $a, b, c$ следует использовать описанный выше алгоритм:
1. Знак $a$ определяется по направлению ветвей параболы.
2. Знак $c$ определяется по точке пересечения графика с осью $Oy$.
3. Знак $b$ определяется по расположению вершины параболы и знаку коэффициента $a$.