Номер 372, страница 100 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

372. При каких значениях $a$ функция $y = 0,5x^2 - 3x + a$ принимает неотрицательные значения при всех действительных значениях $x$?

Данная функция $y = 0,5x^2 - 3x + a$ является квадратичной. Графиком этой функции является парабола.

Коэффициент при старшем члене $x^2$ равен $0,5$, что является положительным числом. Это означает, что ветви параболы направлены вверх.

Условие, что функция принимает неотрицательные значения при всех действительных значениях $x$, означает, что $y \ge 0$ для любого действительного $x$.

Для параболы с ветвями, направленными вверх, это условие выполняется в том случае, если её вершина находится на оси абсцисс или выше неё. Это, в свою очередь, означает, что соответствующее квадратное уравнение $0,5x^2 - 3x + a = 0$ должно иметь не более одного действительного корня (один корень, если парабола касается оси $Ox$, и ноль корней, если парабола целиком лежит выше оси $Ox$).

Количество действительных корней квадратного уравнения определяется его дискриминантом $D$. Условие "не более одного корня" равносильно неравенству $D \le 0$.

Вычислим дискриминант для нашего уравнения, где коэффициенты равны $A=0,5$, $B=-3$, $C=a$:

$D = B^2 - 4AC = (-3)^2 - 4 \cdot 0,5 \cdot a = 9 - 2a$

Теперь решим неравенство $D \le 0$ относительно параметра $a$:

$9 - 2a \le 0$

Перенесем $2a$ в правую часть:

$9 \le 2a$

Разделим обе части на 2:

$4,5 \le a$

Это можно записать как $a \ge 4,5$.

Таким образом, функция принимает неотрицательные значения при всех действительных значениях $x$, если параметр $a$ не меньше $4,5$.

Ответ: $a \ge 4,5$.