Номер 365, страница 100 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

365. При каких значениях a и b нулями функции $y = ax^2 + bx + 7$ являются числа -2 и 3?

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. По условию, числа $-2$ и $3$ являются нулями функции $y = ax^2 + bx + 7$. Это означает, что при подстановке $x = -2$ и $x = 3$ в уравнение функции, значение $y$ будет равно $0$.

На основе этого мы можем составить систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, $a$ и $b$.

1. Подставим первый нуль функции, $x = -2$, в уравнение $y = ax^2 + bx + 7$:

$a(-2)^2 + b(-2) + 7 = 0$

$a \cdot 4 - 2b + 7 = 0$

$4a - 2b = -7$

2. Подставим второй нуль функции, $x = 3$, в то же уравнение:

$a(3)^2 + b(3) + 7 = 0$

$a \cdot 9 + 3b + 7 = 0$

$9a + 3b = -7$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} 4a - 2b = -7 \\ 9a + 3b = -7 \end{cases}$

Для решения этой системы применим метод сложения. Умножим обе части первого уравнения на $3$, а обе части второго уравнения на $2$, чтобы коэффициенты при переменной $b$ стали противоположными по знаку:

$3 \cdot (4a - 2b) = 3 \cdot (-7) \implies 12a - 6b = -21$

$2 \cdot (9a + 3b) = 2 \cdot (-7) \implies 18a + 6b = -14$

Теперь сложим полученные уравнения почленно:

$(12a - 6b) + (18a + 6b) = -21 + (-14)$

$30a = -35$

Найдем значение $a$:

$a = \frac{-35}{30} = -\frac{7 \cdot 5}{6 \cdot 5} = -\frac{7}{6}$

Теперь, когда мы нашли $a$, подставим это значение в любое из исходных уравнений, чтобы найти $b$. Воспользуемся вторым уравнением $9a + 3b = -7$:

$9 \cdot \left(-\frac{7}{6}\right) + 3b = -7$

$-\frac{63}{6} + 3b = -7$

Сократим дробь:

$-\frac{21}{2} + 3b = -7$

Перенесем число в правую часть уравнения:

$3b = -7 + \frac{21}{2}$

$3b = -\frac{14}{2} + \frac{21}{2}$

$3b = \frac{7}{2}$

Найдем значение $b$:

$b = \frac{7}{2} \div 3 = \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{7}{6}$

Итак, искомые значения коэффициентов: $a = -7/6$ и $b = 7/6$.

Ответ: $a = -\frac{7}{6}$, $b = \frac{7}{6}$.