Номер 359, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

359. Постройте график данной функции, укажите её область значений и промежутки возрастания и убывания:

$y = \begin{cases} 3 - x, \text{ если } x \le -2, \\ x^2 - 2x - 3, \text{ если } -2 < x < 2, \\ -3, \text{ если } x \ge 2. \end{cases}$

Данная функция является кусочно-заданной. Для решения задачи проанализируем и построим её график, рассматривая каждый участок отдельно.

Построение графика данной функции

1. На промежутке $x \le -2$ функция задана формулой $y = 3 - x$. Это линейная функция, её график — луч. Найдём координаты конечной точки этого луча: при $x = -2$ имеем $y = 3 - (-2) = 5$. Точка $(-2, 5)$ принадлежит графику. Для построения луча возьмем еще одну контрольную точку, например, при $x = -4$, $y = 3 - (-4) = 7$. Строим луч, проходящий через точки $(-4, 7)$ и $(-2, 5)$.
2. На промежутке $-2 < x < 2$ функция задана формулой $y = x^2 - 2x - 3$. Это квадратичная функция, её график — часть параболы, ветви которой направлены вверх. Найдём координаты вершины параболы: $x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$; $y_0 = 1^2 - 2(1) - 3 = -4$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, -4)$. Найдём значения функции на концах интервала (эти точки будут "выколотыми", так как неравенство строгое): при $x \to -2$ значение $y \to (-2)^2 - 2(-2) - 3 = 5$; при $x \to 2$ значение $y \to 2^2 - 2(2) - 3 = 4 - 4 - 3 = -3$. Строим дугу параболы с вершиной в $(1, -4)$, которая соединяет точки $(-2, 5)$ и $(2, -3)$.
3. На промежутке $x \ge 2$ функция задана формулой $y = -3$. Это постоянная функция, её график — горизонтальный луч, начинающийся в точке $(2, -3)$ и идущий вправо параллельно оси абсцисс.
Объединяя все три части на одной координатной плоскости, получаем график исходной функции. В точках "стыка" $x=-2$ и $x=2$ значения совпадают, поэтому график является непрерывной линией.

Область значений

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать переменная $y$. Анализируя построенный график, мы видим, что наименьшее значение функция достигает в вершине параболы, где $y = -4$. На луче при $x \le -2$ значения $y$ изменяются в промежутке $[5, +\infty)$. На участке параболы при $-2 < x < 2$ значения $y$ изменяются в промежутке $[-4, 5)$. На луче при $x \ge 2$ значение $y$ постоянно и равно $-3$. Объединяя все эти множества значений $[-4, 5) \cup [5, +\infty)$, получаем, что функция принимает все значения от $-4$ включительно и до бесконечности.
Ответ: $E(y) = [-4, +\infty)$.

Промежутки возрастания и убывания

По построенному графику определим промежутки монотонности функции.
- Функция убывает на первом участке ($y=3-x$, где $x \le -2$) и на части второго участка до вершины параболы ($x \in (-2, 1]$). Так как в точке $x=-2$ функция непрерывна, а слева и справа от неё убывает, мы можем объединить эти промежутки. Таким образом, функция убывает на промежутке $(-\infty, 1]$.
- Функция возрастает на части параболы от её вершины ($x=1$) до правого конца интервала ($x=2$). Таким образом, функция возрастает на промежутке $[1, 2]$.
- На промежутке $[2, +\infty)$ функция $y=-3$ является постоянной, то есть не возрастает и не убывает.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[1, 2]$, убывает на промежутке $(-\infty, 1]$.