Номер 356, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

356. Найдите координаты точки параболы $y = 2x^2 - 3x + 6$, у которой ордината на 12 больше абсциссы.

Пусть искомая точка имеет координаты $(x, y)$.

По условию задачи, эта точка принадлежит параболе $y = 2x^2 - 3x + 6$.

Также по условию, ордината точки ($y$) на 12 больше ее абсциссы ($x$). Это можно записать в виде уравнения: $y = x + 12$.

Поскольку координаты точки должны удовлетворять обоим условиям, мы можем составить и решить систему уравнений: $$ \begin{cases} y = 2x^2 - 3x + 6 \\ y = x + 12 \end{cases} $$

Для решения системы приравняем правые части уравнений, так как левые части равны ($y=y$): $$2x^2 - 3x + 6 = x + 12$$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$: $$2x^2 - 3x - x + 6 - 12 = 0$$ $$2x^2 - 4x - 6 = 0$$

Мы можем упростить это уравнение, разделив все его члены на 2: $$x^2 - 2x - 3 = 0$$

Теперь найдем корни получившегося квадратного уравнения. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = -1$$

Мы получили две возможные абсциссы. Теперь для каждой из них найдем соответствующую ординату, используя уравнение $y = x + 12$.

1. Для $x_1 = 3$: $$y_1 = 3 + 12 = 15$$ Следовательно, первая точка имеет координаты $(3, 15)$.

2. Для $x_2 = -1$: $$y_2 = -1 + 12 = 11$$ Следовательно, вторая точка имеет координаты $(-1, 11)$.

Таким образом, существуют две точки на параболе, удовлетворяющие заданному условию.

Ответ: $(3, 15)$ и $(-1, 11)$.