Номер 352, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

352. Решите графически уравнение $-\frac{1}{4}x^2 + x + 2 = \sqrt{x}$.

Для того чтобы решить уравнение $-\frac{1}{4}x^2 + x + 2 = \sqrt{x}$ графически, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = -\frac{1}{4}x^2 + x + 2$ и $y = \sqrt{x}$. Решением уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков.

1. Построение графика функции $y = -\frac{1}{4}x^2 + x + 2$

Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент $a = -\frac{1}{4} < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

Найдём координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-\frac{1}{4})} = -\frac{1}{-\frac{1}{2}} = 2$.
$y_v = -\frac{1}{4}(2)^2 + 2 + 2 = -\frac{1}{4} \cdot 4 + 4 = -1 + 4 = 3$.
Вершина параболы находится в точке $(2, 3)$.

Найдём несколько дополнительных точек для построения, учитывая, что область определения исходного уравнения $x \ge 0$:

• При $x=0$, $y = -\frac{1}{4}(0)^2 + 0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
• При $x=1$, $y = -\frac{1}{4}(1)^2 + 1 + 2 = 2.75$. Точка $(1, 2.75)$.
• При $x=4$, $y = -\frac{1}{4}(4)^2 + 4 + 2 = -4 + 6 = 2$. Точка $(4, 2)$.

2. Построение графика функции $y = \sqrt{x}$

Это стандартная функция квадратного корня. Её график — ветвь параболы, симметричная параболе $y=x^2$ относительно прямой $y=x$. Область определения: $x \ge 0$.

Ключевые точки для построения:

• При $x=0$, $y = \sqrt{0} = 0$. Точка $(0, 0)$.
• При $x=1$, $y = \sqrt{1} = 1$. Точка $(1, 1)$.
• При $x=4$, $y = \sqrt{4} = 2$. Точка $(4, 2)$.
• При $x=9$, $y = \sqrt{9} = 3$. Точка $(9, 3)$.

3. Нахождение решения

Построим оба графика на одной координатной плоскости. Мы видим, что графики пересекаются в одной точке. Из вычисленных ранее точек для обоих графиков видно, что точка $(4, 2)$ является общей.

Проверим это, подставив $x=4$ в исходное уравнение:

Левая часть: $-\frac{1}{4}(4)^2 + 4 + 2 = -\frac{1}{4} \cdot 16 + 6 = -4 + 6 = 2$.
Правая часть: $\sqrt{4} = 2$.

Поскольку $2=2$, равенство верное. Абсцисса точки пересечения $x=4$ является решением уравнения. Так как при $x > 4$ парабола убывает, а график корня возрастает, других точек пересечения нет.

Ответ: $x=4$.