Номер 345, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

345. Постройте график функции:

1) $y = x^2 - 4x - 5$;

2) $y = -x^2 + 2x + 3$;

3) $y = 6x - x^2$;

4) $y = 2x^2 - 8x + 8$;

5) $y = x^2 - 2x + 4$;

6) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3x - 4$;

7) $y = x^2 - 6x + 5$;

8) $y = 2x^2 - 5x + 2$.

1) $y = x^2 - 4x - 5$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Для ее построения найдем основные параметры.

1. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Вершина параболы. Найдем координаты вершины $(x_0, y_0)$ по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$, $y_0 = y(x_0)$. В нашем случае $a = 1$, $b = -4$, $c = -5$.
   $x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
   $y_0 = (2)^2 - 4(2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$.
   Координаты вершины: $(2, -9)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = 2$.

3. Точки пересечения с осями координат.
   - Пересечение с осью Oy: при $x = 0$, $y = 0^2 - 4(0) - 5 = -5$. Точка $(0, -5)$.
   - Пересечение с осью Ox (нули функции): при $y = 0$, решаем уравнение $x^2 - 4x - 5 = 0$.
   Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$.
   $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2}$.
   $x_1 = \frac{4 - 6}{2} = -1$.
   $x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5$.
   Точки пересечения с осью Ox: $(-1, 0)$ и $(5, 0)$.

4. Построение. Отмечаем на координатной плоскости вершину $(2, -9)$, точки пересечения с осями $(-1, 0)$, $(5, 0)$ и $(0, -5)$. Также можно отметить точку, симметричную точке $(0, -5)$ относительно оси симметрии $x=2$, это будет точка $(4, -5)$. Соединяем эти точки плавной кривой, получая параболу.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(2, -9)$, ветвями, направленными вверх. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0, -5)$ и ось Ox в точках $(-1, 0)$ и $(5, 0)$.

2) $y = -x^2 + 2x + 3$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

1. Направление ветвей. Коэффициент $a = -1$. Поскольку $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Вершина параболы. Координаты вершины $(x_0, y_0)$ при $a = -1$, $b = 2$, $c = 3$.
   $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.
   $y_0 = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$.
   Координаты вершины: $(1, 4)$. Ось симметрии: $x = 1$.

3. Точки пересечения с осями координат.
   - Пересечение с осью Oy: при $x = 0$, $y = 3$. Точка $(0, 3)$.
   - Пересечение с осью Ox: при $y = 0$, решаем $-x^2 + 2x + 3 = 0$ или $x^2 - 2x - 3 = 0$.
   По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.
   Точки пересечения с осью Ox: $(-1, 0)$ и $(3, 0)$.

4. Построение. Отмечаем вершину $(1, 4)$, точки пересечения с осями $(-1, 0)$, $(3, 0)$, $(0, 3)$. Точка, симметричная $(0, 3)$ относительно оси $x=1$, это $(2, 3)$. Соединяем точки плавной кривой.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(1, 4)$, ветвями, направленными вниз. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0, 3)$ и ось Ox в точках $(-1, 0)$ и $(3, 0)$.

3) $y = 6x - x^2$

Перепишем функцию в стандартном виде: $y = -x^2 + 6x$. Это парабола.

1. Направление ветвей. Коэффициент $a = -1 < 0$, ветви направлены вниз.

2. Вершина параболы. $a = -1$, $b = 6$, $c = 0$.
   $x_0 = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$.
   $y_0 = -(3)^2 + 6(3) = -9 + 18 = 9$.
   Вершина: $(3, 9)$. Ось симметрии: $x = 3$.

3. Точки пересечения с осями координат.
   - Пересечение с осью Oy: при $x = 0$, $y = 0$. Точка $(0, 0)$.
   - Пересечение с осью Ox: при $y = 0$, решаем $-x^2 + 6x = 0 \Rightarrow -x(x-6) = 0$.
   Корни $x_1 = 0$, $x_2 = 6$.
   Точки пересечения с осью Ox: $(0, 0)$ и $(6, 0)$.

4. Построение. Отмечаем вершину $(3, 9)$ и точки пересечения с осями $(0, 0)$ и $(6, 0)$. Соединяем точки плавной кривой.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(3, 9)$, ветвями, направленными вниз. Парабола проходит через начало координат и пересекает ось Ox также в точке $(6, 0)$.

4) $y = 2x^2 - 8x + 8$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

1. Направление ветвей. Коэффициент $a = 2 > 0$, ветви направлены вверх.

2. Вершина параболы. $a = 2$, $b = -8$, $c = 8$.
   $x_0 = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = 2$.
   $y_0 = 2(2)^2 - 8(2) + 8 = 8 - 16 + 8 = 0$.
   Вершина: $(2, 0)$. Ось симметрии: $x = 2$.

3. Точки пересечения с осями координат.
   - Пересечение с осью Oy: при $x = 0$, $y = 8$. Точка $(0, 8)$.
   - Пересечение с осью Ox: так как $y_0=0$, вершина параболы лежит на оси Ox. Следовательно, есть только одна точка пересечения (касания) - это сама вершина $(2, 0)$.

4. Построение. Отмечаем вершину $(2, 0)$ и точку пересечения с осью Oy $(0, 8)$. Находим симметричную ей точку относительно оси $x=2$: $(4, 8)$. Соединяем точки плавной кривой, учитывая, что парабола "сжата" к оси Oy из-за коэффициента $a=2$.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(2, 0)$, ветвями, направленными вверх. Парабола касается оси Ox в своей вершине и пересекает ось Oy в точке $(0, 8)$.

5) $y = x^2 - 2x + 4$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

1. Направление ветвей. Коэффициент $a = 1 > 0$, ветви направлены вверх.

2. Вершина параболы. $a = 1$, $b = -2$, $c = 4$.
   $x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
   $y_0 = (1)^2 - 2(1) + 4 = 1 - 2 + 4 = 3$.
   Вершина: $(1, 3)$. Ось симметрии: $x = 1$.

3. Точки пересечения с осями координат.
   - Пересечение с осью Oy: при $x = 0$, $y = 4$. Точка $(0, 4)$.
   - Пересечение с осью Ox: решаем $x^2 - 2x + 4 = 0$.
   $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$.
   Так как $D < 0$, действительных корней нет, и парабола не пересекает ось Ox. Она полностью расположена выше оси Ox, так как ее ветви направлены вверх, а вершина находится в точке $(1, 3)$.

4. Построение. Отмечаем вершину $(1, 3)$ и точку $(0, 4)$. Находим симметричную ей точку относительно оси $x=1$: $(2, 4)$. Соединяем эти три точки плавной кривой.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(1, 3)$, ветвями, направленными вверх. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0, 4)$ и не пересекает ось Ox.

6) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3x - 4$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

1. Направление ветвей. Коэффициент $a = -1/2 < 0$, ветви направлены вниз.

2. Вершина параболы. $a = -1/2$, $b = 3$, $c = -4$.
   $x_0 = -\frac{3}{2 \cdot (-1/2)} = -\frac{3}{-1} = 3$.
   $y_0 = -\frac{1}{2}(3)^2 + 3(3) - 4 = -\frac{9}{2} + 9 - 4 = -4.5 + 5 = 0.5$.
   Вершина: $(3, 0.5)$. Ось симметрии: $x = 3$.

3. Точки пересечения с осями координат.
   - Пересечение с осью Oy: при $x = 0$, $y = -4$. Точка $(0, -4)$.
   - Пересечение с осью Ox: решаем $-\frac{1}{2}x^2 + 3x - 4 = 0$. Умножим на -2: $x^2 - 6x + 8 = 0$.
   По теореме Виета, корни $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.
   Точки пересечения с осью Ox: $(2, 0)$ и $(4, 0)$.

4. Построение. Отмечаем вершину $(3, 0.5)$, точки пересечения с осями $(2, 0)$, $(4, 0)$ и $(0, -4)$. Соединяем точки плавной кривой, учитывая, что парабола "шире", чем стандартная, из-за $|a|=1/2$.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(3, 0.5)$, ветвями, направленными вниз. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0, -4)$ и ось Ox в точках $(2, 0)$ и $(4, 0)$.

7) $y = x^2 - 6x + 5$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

1. Направление ветвей. Коэффициент $a = 1 > 0$, ветви направлены вверх.

2. Вершина параболы. $a = 1$, $b = -6$, $c = 5$.
   $x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$.
   $y_0 = (3)^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$.
   Вершина: $(3, -4)$. Ось симметрии: $x = 3$.

3. Точки пересечения с осями координат.
   - Пересечение с осью Oy: при $x = 0$, $y = 5$. Точка $(0, 5)$.
   - Пересечение с осью Ox: решаем $x^2 - 6x + 5 = 0$.
   По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.
   Точки пересечения с осью Ox: $(1, 0)$ и $(5, 0)$.

4. Построение. Отмечаем вершину $(3, -4)$, точки пересечения с осями $(1, 0)$, $(5, 0)$ и $(0, 5)$. Находим симметричную точку к $(0, 5)$: $(6, 5)$. Соединяем точки плавной кривой.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(3, -4)$, ветвями, направленными вверх. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0, 5)$ и ось Ox в точках $(1, 0)$ и $(5, 0)$.

8) $y = 2x^2 - 5x + 2$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

1. Направление ветвей. Коэффициент $a = 2 > 0$, ветви направлены вверх.

2. Вершина параболы. $a = 2$, $b = -5$, $c = 2$.
   $x_0 = -\frac{-5}{2 \cdot 2} = \frac{5}{4} = 1.25$.
   $y_0 = 2(\frac{5}{4})^2 - 5(\frac{5}{4}) + 2 = 2(\frac{25}{16}) - \frac{25}{4} + 2 = \frac{25}{8} - \frac{50}{8} + \frac{16}{8} = -\frac{9}{8} = -1.125$.
   Вершина: $(1.25, -1.125)$. Ось симметрии: $x = 1.25$.

3. Точки пересечения с осями координат.
   - Пересечение с осью Oy: при $x = 0$, $y = 2$. Точка $(0, 2)$.
   - Пересечение с осью Ox: решаем $2x^2 - 5x + 2 = 0$.
   $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
   $x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}$.
   $x_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$.
   $x_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
   Точки пересечения с осью Ox: $(0.5, 0)$ и $(2, 0)$.

4. Построение. Отмечаем вершину $(1.25, -1.125)$, точки пересечения с осями $(0.5, 0)$, $(2, 0)$ и $(0, 2)$. Находим симметричную точку к $(0, 2)$: $(2.5, 2)$. Соединяем точки плавной кривой.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(1.25, -1.125)$, ветвями, направленными вверх. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0, 2)$ и ось Ox в точках $(0.5, 0)$ и $(2, 0)$.