Номер 342, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

342. Дана функция $f(x) = x^2 - 2x - 15$. Найдите значение аргумента $x$, при котором:

1) $f(x) = 0$;

2) $f(x) = -7$;

3) $f(x) = 33$.

Дана функция $f(x) = x^2 - 2x - 15$. Чтобы найти значение аргумента $x$, при котором функция принимает определенное значение, необходимо приравнять функцию к этому значению и решить полученное уравнение.

1) $f(x) = 0$;

Приравниваем функцию к нулю и получаем квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 15 = 0$

Для решения уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ воспользуемся формулой корней через дискриминант. В данном случае коэффициенты равны: $a=1$, $b=-2$, $c=-15$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Ответ: $x = -3$ или $x = 5$.

2) $f(x) = -7$;

Приравниваем функцию к -7:

$x^2 - 2x - 15 = -7$

Перенесем -7 в левую часть уравнения, чтобы привести его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 2x - 15 + 7 = 0$

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1$, $b=-2$, $c=-8$.

Найдем дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: $x = -2$ или $x = 4$.

3) $f(x) = 33$.

Приравниваем функцию к 33:

$x^2 - 2x - 15 = 33$

Перенесем 33 в левую часть уравнения:

$x^2 - 2x - 15 - 33 = 0$

$x^2 - 2x - 48 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1$, $b=-2$, $c=-48$.

Найдем дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196$

Найдем корни уравнения, зная, что $\sqrt{196} = 14$:

$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 14}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 14}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Ответ: $x = -6$ или $x = 8$.