Номер 348, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

348. Постройте график функции $f(x) = -x^2 - 6x - 5$. Используя график, найдите:

1) область значений функции;

2) промежуток возрастания функции;

3) множество решений неравенства $f(x) > 0$.

Для того чтобы построить график функции $f(x) = -x^2 - 6x - 5$ и ответить на поставленные вопросы, необходимо провести анализ этой функции.

Функция $f(x) = -x^2 - 6x - 5$ является квадратичной, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-1$ (отрицательное число), ветви параболы направлены вниз.

1. Найдем вершину параболы.

Координаты вершины $(x_v, y_v)$ находятся по формулам:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-6}{-2} = -3$.
$y_v = f(x_v) = f(-3) = -(-3)^2 - 6(-3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-3; 4)$.

2. Найдем точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy (x = 0):
$f(0) = -0^2 - 6 \cdot 0 - 5 = -5$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0; -5)$.

Пересечение с осью Ox (y = 0, или f(x) = 0):
Решим уравнение $-x^2 - 6x - 5 = 0$.
Умножим обе части на $-1$:
$x^2 + 6x + 5 = 0$.
Используем теорему Виета: произведение корней равно 5, а сумма корней равна -6. Корни уравнения: $x_1 = -5$ и $x_2 = -1$.
Точки пересечения с осью Ox: $(-5; 0)$ и $(-1; 0)$.

3. Построение графика.

Отметим на координатной плоскости вершину $(-3; 4)$, точки пересечения с осями $(-5; 0)$, $(-1; 0)$, $(0; -5)$ и, используя симметрию относительно оси $x = -3$, найдем еще одну точку: $(-6; -5)$. Соединим точки плавной линией, получим параболу.

Теперь, используя построенный график, ответим на вопросы.

1) область значений функции;
Область значений функции — это все возможные значения, которые принимает переменная $y$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, а ее наивысшая точка — это вершина с ординатой $y=4$, то функция принимает все значения от $-\infty$ до $4$ включительно.
Ответ: $(-\infty; 4]$.

2) промежуток возрастания функции;
Функция возрастает там, где ее график идет вверх (слева направо). Для параболы с ветвями вниз это происходит на участке до ее вершины. Абсцисса вершины $x_v = -3$. Следовательно, функция возрастает на промежутке от $-\infty$ до $-3$.
Ответ: $(-\infty; -3]$.

3) множество решений неравенства $f(x) > 0$.
Неравенство $f(x) > 0$ означает, что мы ищем те значения $x$, при которых график функции находится выше оси Ox. Из анализа точек пересечения мы знаем, что график пересекает ось Ox в точках $x=-5$ и $x=-1$. Между этими точками парабола находится выше оси. Так как неравенство строгое, сами точки $x=-5$ и $x=-1$ не включаются в решение.
Ответ: $(-5; -1)$.