Номер 350, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

350. Постройте график функции $f(x) = 3x^2 - 6x$. Используя график, найдите:

1) область значений функции;

2) промежуток убывания функции;

3) при каких значениях x выполняется неравенство $f(x) \geq 0$.

Для построения графика функции $f(x) = 3x^2 - 6x$ определим основные характеристики. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 3 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

Ордината вершины — это значение функции в точке $x_0=1$:

$y_0 = f(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, -3)$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат.

С осью OY (x=0):

$f(0) = 3(0)^2 - 6(0) = 0$. Точка пересечения — $(0, 0)$.

С осью OX (y=0):

$3x^2 - 6x = 0$

$3x(x - 2) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Точки пересечения — $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

Для более точного построения найдем еще одну точку. Возьмем $x = 3$:

$f(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 3 \cdot 9 - 18 = 27 - 18 = 9$. Точка — $(3, 9)$.

Построим параболу, проходящую через точки $(0, 0)$, $(2, 0)$, с вершиной в точке $(1, -3)$ и проходящую через точку $(3, 9)$. Ветви параболы направлены вверх.

Используя построенный график, ответим на вопросы.

1) область значений функции

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $y$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, а ее вершина находится в точке $(1, -3)$, наименьшее значение функции равно $-3$. Все остальные значения больше этого. Таким образом, область значений функции — это все числа от $-3$ включительно до $+\infty$.

Ответ: $E(f) = [-3; +\infty)$.

2) промежуток убывания функции

Функция убывает на том промежутке, где при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается. Глядя на график, мы видим, что это происходит на левой ветви параболы, то есть до ее вершины. Абсцисса вершины равна 1. Следовательно, функция убывает на промежутке от $-\infty$ до 1 включительно.

Ответ: $(-\infty; 1]$.

3) при каких значениях х выполняется неравенство $f(x) \ge 0$

Неравенство $f(x) \ge 0$ выполняется для тех значений $x$, при которых график функции находится на оси OX или выше нее. Мы нашли, что график пересекает ось OX в точках $x=0$ и $x=2$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, график находится выше оси OX слева от точки $x=0$ и справа от точки $x=2$. Включая сами точки пересечения, получаем два промежутка.

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [2; +\infty)$.