Номер 357, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

357. Найдите область значений и промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = 4x^2 - 8x + 3;$

2) $f(x) = - \frac{1}{5}x^2 + 2x - 6;$

3) $f(x) = 4 - 12x - 0,3x^2;$

4) $f(x) = 7x^2 + 21x.$

Для нахождения области значений и промежутков возрастания/убывания квадратичной функции $f(x) = ax^2 + bx + c$ необходимо определить направление ветвей параболы и найти координаты ее вершины $(x_0, y_0)$.

Координаты вершины вычисляются по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$, $y_0 = f(x_0)$.

• Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Вершина является точкой минимума.
  • Область значений: $[y_0; +\infty)$.
  • Функция убывает на $(-\infty; x_0]$.
  • Функция возрастает на $[x_0; +\infty)$.
• Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Вершина является точкой максимума.
  • Область значений: $(-\infty; y_0]$.
  • Функция возрастает на $(-\infty; x_0]$.
  • Функция убывает на $[x_0; +\infty)$.

1) $f(x) = 4x^2 - 8x + 3$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = 4, b = -8, c = 3$. Так как $a = 4 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 4} = 1$.

$y_0 = f(1) = 4(1)^2 - 8(1) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.

Вершина параболы находится в точке $(1; -1)$. Это точка минимума функции.

Область значений функции: $E(f) = [-1; +\infty)$.

Промежуток убывания: $(-\infty; 1]$.

Промежуток возрастания: $[1; +\infty)$.

Ответ: область значений $E(f) = [-1; +\infty)$; функция возрастает на промежутке $[1; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; 1]$.

2) $f(x) = -\frac{1}{5}x^2 + 2x - 6$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = -\frac{1}{5}, b = 2, c = -6$. Так как $a = -\frac{1}{5} < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-\frac{1}{5})} = -\frac{2}{-\frac{2}{5}} = 5$.

$y_0 = f(5) = -\frac{1}{5}(5)^2 + 2(5) - 6 = -5 + 10 - 6 = -1$.

Вершина параболы находится в точке $(5; -1)$. Это точка максимума функции.

Область значений функции: $E(f) = (-\infty; -1]$.

Промежуток возрастания: $(-\infty; 5]$.

Промежуток убывания: $[5; +\infty)$.

Ответ: область значений $E(f) = (-\infty; -1]$; функция возрастает на промежутке $(-\infty; 5]$ и убывает на промежутке $[5; +\infty)$.

3) $f(x) = 4 - 12x - 0,3x^2$

Перепишем функцию в стандартном виде: $f(x) = -0,3x^2 - 12x + 4$. Это квадратичная функция с коэффициентами $a = -0,3, b = -12, c = 4$. Так как $a = -0,3 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot (-0,3)} = \frac{12}{-0,6} = -20$.

$y_0 = f(-20) = -0,3(-20)^2 - 12(-20) + 4 = -0,3 \cdot 400 + 240 + 4 = -120 + 244 = 124$.

Вершина параболы находится в точке $(-20; 124)$. Это точка максимума функции.

Область значений функции: $E(f) = (-\infty; 124]$.

Промежуток возрастания: $(-\infty; -20]$.

Промежуток убывания: $[-20; +\infty)$.

Ответ: область значений $E(f) = (-\infty; 124]$; функция возрастает на промежутке $(-\infty; -20]$ и убывает на промежутке $[-20; +\infty)$.

4) $f(x) = 7x^2 + 21x$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = 7, b = 21, c = 0$. Так как $a = 7 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{21}{2 \cdot 7} = -\frac{21}{14} = -\frac{3}{2} = -1,5$.

$y_0 = f(-1,5) = 7(-1,5)^2 + 21(-1,5) = 7(2,25) - 31,5 = 15,75 - 31,5 = -15,75$.

Вершина параболы находится в точке $(-1,5; -15,75)$. Это точка минимума функции.

Область значений функции: $E(f) = [-15,75; +\infty)$.

Промежуток убывания: $(-\infty; -1,5]$.

Промежуток возрастания: $[-1,5; +\infty)$.

Ответ: область значений $E(f) = [-15,75; +\infty)$; функция возрастает на промежутке $[-1,5; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; -1,5]$.