Номер 360, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

360. Постройте график данной функции, укажите её область значений и промежутки возрастания и убывания:

$y = \begin{cases} x, \text{ если } x \le 0, \\ 4x - x^2, \text{ если } 0 < x < 5, \\ x - 10, \text{ если } x \ge 5. \end{cases}$

Данная функция является кусочно-заданной. Для ее анализа и построения графика рассмотрим каждый из трех участков отдельно.

Построение графика

График функции состоит из трех частей, соответствующих трем интервалам области определения:

• На промежутке $(-\infty, 0]$ график совпадает с графиком функции $y = x$. Это луч, являющийся биссектрисой третьего координатного угла, с началом в точке $(0, 0)$.
• На интервале $(0, 5)$ график представляет собой часть параболы $y = 4x - x^2$. Ветви этой параболы направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен. Найдем координаты вершины:
  $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-1)} = 2$.
  $y_в = 4(2) - 2^2 = 8 - 4 = 4$.
  Вершина параболы находится в точке $(2, 4)$. На концах интервала функция стремится к значениям $y(0) = 0$ и $y(5) = 4(5) - 5^2 = -5$. Таким образом, эта часть графика — дуга параболы, соединяющая "выколотые" точки $(0, 0)$ и $(5, -5)$ и проходящая через вершину $(2, 4)$.
• На промежутке $[5, +\infty)$ график совпадает с прямой $y = x - 10$. Это луч, начинающийся в точке $(5, -5)$ (поскольку $y(5) = 5 - 10 = -5$) и идущий вправо и вверх.

Объединяя эти три части, получаем итоговый график. Функция непрерывна на всей числовой оси, так как значения в точках "стыковки" $x=0$ и $x=5$ совпадают.

Область значений

Область значений функции $E(y)$ — это множество всех значений, которые принимает переменная $y$. Найдем его, проанализировав каждый участок:

• На промежутке $(-\infty, 0]$ функция $y=x$ принимает все значения из $(-\infty, 0]$.
• На интервале $(0, 5)$, где $y=4x-x^2$, функция сначала возрастает от $0$ до $4$ (в вершине), а затем убывает от $4$ до $-5$. Значения на этом участке принадлежат промежутку $(-5, 4]$.
• На промежутке $[5, +\infty)$, где $y=x-10$, функция принимает все значения из $[-5, +\infty)$.

Объединение всех этих множеств значений $(-\infty, 0] \cup (-5, 4] \cup [-5, +\infty)$ дает множество всех действительных чисел.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Промежутки возрастания и убывания

Определим, на каких промежутках функция возрастает, а на каких убывает:

• На $(-\infty, 0]$ функция $y=x$ возрастает (угловой коэффициент $k=1 > 0$).
• На $(0, 5)$ имеем параболу $y=4x-x^2$ с вершиной в $x=2$. Следовательно, функция возрастает на $(0, 2]$ и убывает на $[2, 5)$.
• На $[5, +\infty)$ функция $y=x-10$ возрастает (угловой коэффициент $k=1 > 0$).

Учитывая непрерывность функции, объединяем промежутки с одинаковым поведением:

• Функция возрастает на $(-\infty, 0]$ и на $(0, 2]$. Объединенный промежуток возрастания: $(-\infty, 2]$.
• Также функция возрастает на $[5, +\infty)$.
• Функция убывает на $[2, 5]$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, 2]$ и $[5, +\infty)$; функция убывает на промежутке $[2, 5]$.