Номер 358, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

358. Найдите область значений и промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = 2x^2 - 12x + 8;$

2) $f(x) = 9 + 8x - 0,2x^2.$

1) f(x) = 2x² - 12x + 8

Данная функция является квадратичной вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 2$, $b = -12$, $c = 8$. Графиком этой функции является парабола. Поскольку старший коэффициент $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет точку минимума, которая находится в вершине параболы.

Для нахождения области значений и промежутков монотонности найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$: $x_в = -\frac{-12}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$.

Ордината вершины $y_в$ является минимальным значением функции. Найдем ее, подставив $x_в$ в уравнение функции: $y_в = f(3) = 2(3)^2 - 12(3) + 8 = 2 \cdot 9 - 36 + 8 = 18 - 36 + 8 = -10$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3; -10)$.

Область значений: Так как ветви параболы направлены вверх, а ее наименьшее значение равно ординате вершины $y_в = -10$, то область значений функции — это промежуток от -10 (включительно) до $+\infty$. $E(f) = [-10; +\infty)$.

Промежутки возрастания и убывания: Квадратичная функция с ветвями вверх убывает на промежутке до своей вершины и возрастает после. Промежуток убывания: $x \in (-\infty; 3]$. Промежуток возрастания: $x \in [3; +\infty)$.

Ответ: область значений $E(f) = [-10; +\infty)$; функция убывает на промежутке $(-\infty; 3]$ и возрастает на промежутке $[3; +\infty)$.

2) f(x) = 9 + 8x - 0,2x²

Перепишем функцию в стандартном виде $y = ax^2 + bx + c$: $f(x) = -0,2x^2 + 8x + 9$. Это квадратичная функция, где $a = -0,2$, $b = 8$, $c = 9$. Графиком является парабола. Так как старший коэффициент $a = -0,2 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет точку максимума в вершине параболы.

Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$: $x_в = -\frac{8}{2 \cdot (-0,2)} = -\frac{8}{-0,4} = 20$.

Ордината вершины $y_в$ является максимальным значением функции. Найдем ее, подставив $x_в$ в уравнение функции: $y_в = f(20) = -0,2(20)^2 + 8(20) + 9 = -0,2 \cdot 400 + 160 + 9 = -80 + 160 + 9 = 89$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(20; 89)$.

Область значений: Так как ветви параболы направлены вниз, а ее наибольшее значение равно ординате вершины $y_в = 89$, то область значений функции — это промежуток от $-\infty$ до 89 (включительно). $E(f) = (-\infty; 89]$.

Промежутки возрастания и убывания: Квадратичная функция с ветвями вниз возрастает на промежутке до своей вершины и убывает после. Промежуток возрастания: $x \in (-\infty; 20]$. Промежуток убывания: $x \in [20; +\infty)$.

Ответ: область значений $E(f) = (-\infty; 89]$; функция возрастает на промежутке $(-\infty; 20]$ и убывает на промежутке $[20; +\infty)$.