Номер 355, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

355. Найдите координаты точки параболы $y = -x^2 + 9x + 9$, у которой:

1) абсцисса и ордината равны;

2) сумма абсциссы и ординаты равна 25.

Дана парабола, заданная уравнением $y = -x^2 + 9x + 9$. Необходимо найти координаты точек на этой параболе, удовлетворяющих дополнительным условиям.

1) абсцисса и ордината равны;

Если абсцисса $(x)$ и ордината $(y)$ точки равны, то выполняется условие $y = x$.
Чтобы найти координаты такой точки, нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнения параболы и уравнения условия:
$ \begin{cases} y = -x^2 + 9x + 9 \\ y = x \end{cases} $
Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны:
$x = -x^2 + 9x + 9$
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + x - 9x - 9 = 0$
$x^2 - 8x - 9 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 8$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -9$
Подбором находим корни: $x_1 = 9$ и $x_2 = -1$.
Теперь найдем соответствующие ординаты. Так как по условию $y = x$, то:
При $x_1 = 9$, $y_1 = 9$. Первая точка имеет координаты $(9, 9)$.
При $x_2 = -1$, $y_2 = -1$. Вторая точка имеет координаты $(-1, -1)$.

Ответ: $(9, 9)$ и $(-1, -1)$.

2) сумма абсциссы и ординаты равна 25.

Если сумма абсциссы $(x)$ и ординаты $(y)$ равна 25, то выполняется условие $x + y = 25$.
Выразим $y$ из этого условия: $y = 25 - x$.
Снова составим систему уравнений:
$ \begin{cases} y = -x^2 + 9x + 9 \\ y = 25 - x \end{cases} $
Приравняем правые части уравнений:
$25 - x = -x^2 + 9x + 9$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - 9x - x + 25 - 9 = 0$
$x^2 - 10x + 16 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 10$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 16$
Корнями уравнения являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 8$.
Теперь найдем соответствующие ординаты, используя соотношение $y = 25 - x$:
При $x_1 = 2$, $y_1 = 25 - 2 = 23$. Первая точка имеет координаты $(2, 23)$.
При $x_2 = 8$, $y_2 = 25 - 8 = 17$. Вторая точка имеет координаты $(8, 17)$.

Ответ: $(2, 23)$ и $(8, 17)$.