Номер 362, страница 100 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

362. Найдите наименьшее значение функции $y = 3x^2 - 18x + 2$ на промежутке:

1) $[-1; 4];$

2) $[-4; 1];$

3) $[4; 5].$

Для нахождения наименьшего значения функции $y = 3x^2 - 18x + 2$ на заданном промежутке, сначала найдем точку минимума функции. Так как это парабола с ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), точка минимума будет в ее вершине. Для нахождения вершины найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

Производная функции:

$y' = (3x^2 - 18x + 2)' = 6x - 18$

Найдем критическую точку:

$y' = 0 \implies 6x - 18 = 0 \implies 6x = 18 \implies x = 3$

Точка $x=3$ является точкой минимума функции. Значение функции в этой точке:

$y(3) = 3(3)^2 - 18(3) + 2 = 3 \cdot 9 - 54 + 2 = 27 - 54 + 2 = -25$

Далее, для каждого заданного промежутка необходимо сравнить значение функции в точке минимума (если она входит в промежуток) и на концах этого промежутка.

1) [-1; 4]

Точка минимума $x=3$ принадлежит данному промежутку, так как $-1 \le 3 \le 4$.

Следовательно, нужно сравнить значения функции в точках $x=-1$, $x=3$ и $x=4$.

$y(-1) = 3(-1)^2 - 18(-1) + 2 = 3 + 18 + 2 = 23$

$y(3) = -25$

$y(4) = 3(4)^2 - 18(4) + 2 = 3 \cdot 16 - 72 + 2 = 48 - 72 + 2 = -22$

Среди значений $23$, $-25$ и $-22$ наименьшим является $-25$.

Ответ: $-25$.

2) [-4; 1]

Точка минимума $x=3$ не принадлежит данному промежутку, так как $3 > 1$.

В этом случае наименьшее значение функции на отрезке будет достигаться на одном из его концов. Вычислим значения функции в точках $x=-4$ и $x=1$.

$y(-4) = 3(-4)^2 - 18(-4) + 2 = 3 \cdot 16 + 72 + 2 = 48 + 72 + 2 = 122$

$y(1) = 3(1)^2 - 18(1) + 2 = 3 - 18 + 2 = -13$

Среди значений $122$ и $-13$ наименьшим является $-13$.

Ответ: $-13$.

3) [4; 5]

Точка минимума $x=3$ не принадлежит данному промежутку, так как $3 < 4$.

Наименьшее значение функции на отрезке будет достигаться на одном из его концов. Вычислим значения функции в точках $x=4$ и $x=5$.

$y(4) = 3(4)^2 - 18(4) + 2 = 3 \cdot 16 - 72 + 2 = 48 - 72 + 2 = -22$

$y(5) = 3(5)^2 - 18(5) + 2 = 3 \cdot 25 - 90 + 2 = 75 - 90 + 2 = -13$

Среди значений $-22$ и $-13$ наименьшим является $-22$.

Ответ: $-22$.