Номер 361, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

361. Задайте формулой какую-нибудь квадратичную функцию, которая:

1) убывает на промежутке $(-\infty; 1]$ и возрастает на промежутке $[1; +\infty)$;

2) возрастает на промежутке $(-\infty; -2]$ и убывает на промежутке $[-2; +\infty)$.

1) убывает на промежутке $(-\infty; 1]$ и возрастает на промежутке $[1; +\infty)$

Общий вид квадратичной функции: $y = ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$. Графиком является парабола. Промежутки монотонности (возрастания и убывания) квадратичной функции определяются знаком старшего коэффициента $a$ и абсциссой вершины параболы $x_в = -\frac{b}{2a}$.

Согласно условию, функция сначала убывает, а затем возрастает. Такое поведение характерно для параболы, ветви которой направлены вверх. Это означает, что старший коэффициент $a$ должен быть положительным ($a > 0$).

Точка, в которой происходит смена убывания на возрастание, является вершиной параболы. Из условия следует, что абсцисса вершины $x_в = 1$.

Удобно использовать формулу квадратичной функции, записанную через координаты вершины $(x_в; y_в)$: $y = a(x - x_в)^2 + y_в$.

Подставим известные нам значения: $x_в = 1$ и выберем простейшие значения для других параметров, удовлетворяющие условиям. Пусть $a = 1$ (так как $a > 0$) и $y_в = 0$ (ордината вершины не влияет на промежутки монотонности).

Тогда функция примет вид: $y = 1 \cdot (x - 1)^2 + 0$, что упрощается до $y = (x - 1)^2$.

Раскрыв скобки, можно получить другой вид этой же функции: $y = x^2 - 2x + 1$. Любая из этих формул является правильным ответом.

Ответ: $y = (x - 1)^2$.

2) возрастает на промежутке $(-\infty; -2]$ и убывает на промежутке $[-2; +\infty)$

В этом случае функция сначала возрастает, а затем убывает. Такое поведение характерно для параболы, ветви которой направлены вниз. Это означает, что старший коэффициент $a$ должен быть отрицательным ($a < 0$).

Точка смены возрастания на убывание — это вершина параболы. Из условия следует, что абсцисса вершины $x_в = -2$.

Снова используем формулу $y = a(x - x_в)^2 + y_в$.

Подставим $x_в = -2$. Выберем простейшее значение для $a$, удовлетворяющее условию $a < 0$, например, $a = -1$. Для $y_в$ также выберем простейшее значение, $y_в = 0$.

Функция примет вид: $y = -1 \cdot (x - (-2))^2 + 0$, что равносильно $y = -(x + 2)^2$.

Если раскрыть скобки, получим: $y = -(x^2 + 4x + 4) = -x^2 - 4x - 4$. Эта формула также является правильным ответом.

Ответ: $y = -(x + 2)^2$.