Номер 363, страница 100 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

363. Найдите наибольшее значение функции $y = -x^2 - 8x + 10$ на промежутке:

1) $[-5; -3];$

2) $[-1; 0];$

3) $[-11; -10].$

Чтобы найти наибольшее значение функции на заданном промежутке, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки функции, приравняв производную к нулю.
3. Проверить, принадлежат ли критические точки заданному промежутку.
4. Вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих промежутку, и на концах этого промежутка.
5. Выбрать наибольшее из полученных значений.

Данная функция: $y = -x^2 - 8x + 10$.

1. Находим производную функции:

$y' = (-x^2 - 8x + 10)' = -2x - 8$

2. Находим критические точки:

$y' = 0 \implies -2x - 8 = 0$

$-2x = 8$

$x = -4$

Критическая точка функции — $x = -4$. Это точка максимума, так как график функции — парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицательный).

Теперь рассмотрим каждый промежуток отдельно.

1) $[-5; -3]$

Критическая точка $x = -4$ принадлежит промежутку $[-5; -3]$.

Вычислим значения функции в этой точке и на концах промежутка:

• $y(-5) = -(-5)^2 - 8(-5) + 10 = -25 + 40 + 10 = 25$
• $y(-4) = -(-4)^2 - 8(-4) + 10 = -16 + 32 + 10 = 26$
• $y(-3) = -(-3)^2 - 8(-3) + 10 = -9 + 24 + 10 = 25$

Сравнивая полученные значения $25$, $26$ и $25$, видим, что наибольшее из них равно $26$.

Ответ: 26

2) $[-1; 0]$

Критическая точка $x = -4$ не принадлежит промежутку $[-1; 0]$.

Следовательно, наибольшее значение функции на этом отрезке достигается на одном из его концов. Вычислим значения функции на концах промежутка:

• $y(-1) = -(-1)^2 - 8(-1) + 10 = -1 + 8 + 10 = 17$
• $y(0) = -(0)^2 - 8(0) + 10 = 0 - 0 + 10 = 10$

Сравнивая значения $17$ и $10$, видим, что наибольшее из них равно $17$.

Ответ: 17

3) $[-11; -10]$

Критическая точка $x = -4$ не принадлежит промежутку $[-11; -10]$.

Следовательно, наибольшее значение функции на этом отрезке также достигается на одном из его концов. Вычислим значения функции на концах промежутка:

• $y(-11) = -(-11)^2 - 8(-11) + 10 = -121 + 88 + 10 = -23$
• $y(-10) = -(-10)^2 - 8(-10) + 10 = -100 + 80 + 10 = -10$

Сравнивая значения $-23$ и $-10$, видим, что наибольшее из них равно $-10$.

Ответ: -10