Номер 367, страница 100 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

367. Пусть $D$ — дискриминант квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$. Изобразите схематически график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, если:

1) $a > 0$, $D > 0$, $c > 0$, $-\frac{b}{2a} > 0$;

2) $a > 0$, $D = 0$, $-\frac{b}{2a} < 0$;

3) $a < 0$, $D < 0$, $-\frac{b}{2a} > 0$;

4) $a < 0$, $c = 0$, $-\frac{b}{2a} < 0$.

Для схематического изображения графика квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ проанализируем влияние каждого параметра и условия на вид параболы.

• Коэффициент $a$ определяет направление ветвей параболы: если $a > 0$, ветви направлены вверх; если $a < 0$, ветви направлены вниз.
• Дискриминант $D = b^2 - 4ac$ определяет количество точек пересечения параболы с осью абсцисс (Ox): если $D > 0$, то две точки пересечения; если $D = 0$, то одна точка касания (вершина параболы); если $D < 0$, то точек пересечения нет.
• Коэффициент $c$ определяет точку пересечения параболы с осью ординат (Oy), это точка $(0, c)$.
• Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Знак $x_0$ показывает, в левой ($x_0 < 0$) или правой ($x_0 > 0$) полуплоскости относительно оси Oy находится вершина.

1) Даны условия: $a > 0$, $D > 0$, $c > 0$, $-\frac{b}{2a} > 0$.
- Из $a > 0$ следует, что ветви параболы направлены вверх.
- Из $D > 0$ следует, что парабола пересекает ось Ox в двух различных точках.
- Из $c > 0$ следует, что парабола пересекает ось Oy в точке выше начала координат.
- Из $x_0 = -\frac{b}{2a} > 0$ следует, что вершина параболы находится в правой полуплоскости (правее оси Oy).
Так как ветви направлены вверх, а вершина находится правее оси Oy, то для того чтобы парабола пересекала ось Ox в двух точках, ее вершина должна находиться ниже оси Ox. Таким образом, вершина параболы расположена в IV координатной четверти.

Ответ: Схематический график — это парабола с ветвями вверх, вершина которой расположена в IV четверти. Парабола пересекает ось Ox в двух точках и ось Oy в положительной точке.

2) Даны условия: $a > 0$, $D = 0$, $-\frac{b}{2a} < 0$.
- Из $a > 0$ следует, что ветви параболы направлены вверх.
- Из $D = 0$ следует, что парабола имеет одну общую точку с осью Ox, то есть касается её. Эта точка касания является вершиной параболы.
- Из $x_0 = -\frac{b}{2a} < 0$ следует, что абсцисса вершины параболы отрицательна, то есть вершина находится в левой полуплоскости.
Совмещая условия, получаем, что вершина параболы лежит на отрицательной части оси Ox. Парабола с ветвями вверх касается оси Ox слева от начала координат.

Ответ: Схематический график — это парабола с ветвями вверх, которая касается оси Ox в точке с отрицательной абсциссой.

3) Даны условия: $a < 0$, $D < 0$, $-\frac{b}{2a} > 0$.
- Из $a < 0$ следует, что ветви параболы направлены вниз.
- Из $D < 0$ следует, что парабола не имеет общих точек с осью Ox. Поскольку ветви направлены вниз, вся парабола целиком лежит ниже оси Ox.
- Из $x_0 = -\frac{b}{2a} > 0$ следует, что вершина параболы находится в правой полуплоскости.
Вершина параболы является ее наивысшей точкой. Так как вся парабола под осью Ox, вершина тоже под осью Ox. Учитывая, что абсцисса вершины положительна, вершина находится в IV координатной четверти.

Ответ: Схематический график — это парабола с ветвями вниз, полностью расположенная под осью Ox, с вершиной в IV координатной четверти.

4) Даны условия: $a < 0$, $c = 0$, $-\frac{b}{2a} < 0$.
- Из $a < 0$ следует, что ветви параболы направлены вниз.
- Из $c = 0$ следует, что парабола проходит через начало координат $(0, 0)$.
- Из $x_0 = -\frac{b}{2a} < 0$ следует, что вершина параболы находится в левой полуплоскости.
Поскольку парабола проходит через точку $(0, 0)$ и ее вершина находится левее оси Oy, то ордината вершины должна быть положительной (так как ветви направлены вниз). Следовательно, вершина параболы находится во II координатной четверти. Прохождение через $(0, 0)$ означает, что один из корней уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ равен нулю. Так как вершина не в этой точке, должен быть и второй корень. Второй корень $x_2 = -b/a$. Из условий $a < 0$ и $-\frac{b}{2a} < 0$ следует, что $b < 0$, а значит $x_2 < 0$. Таким образом, парабола пересекает ось Ox в точках $0$ и $x_2 < 0$.

Ответ: Схематический график — это парабола с ветвями вниз, вершина которой находится во II координатной четверти. Парабола проходит через начало координат и пересекает ось Ox в еще одной точке с отрицательной абсциссой.