Номер 373, страница 100 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

373. При каких значениях $a$ функция $y = -4x^2 - 16x + a$ принимает отрицательные значения при всех действительных значениях $x$?

Данная функция $y = -4x^2 - 16x + a$ является квадратичной. Графиком квадратичной функции является парабола.

Коэффициент при старшем члене $x^2$ равен $-4$. Так как $-4 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Для того чтобы функция принимала отрицательные значения при всех действительных значениях $x$, ее график должен быть полностью расположен ниже оси абсцисс (оси Ox). Это означает, что парабола не должна пересекать ось Ox и не должна касаться ее. Следовательно, квадратное уравнение $-4x^2 - 16x + a = 0$ не должно иметь действительных корней.

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ строго меньше нуля ($D < 0$).

Вычислим дискриминант для уравнения $-4x^2 - 16x + a = 0$. Коэффициенты здесь: $a_{коэф} = -4$, $b = -16$, $c = a$.

$D = b^2 - 4a_{коэф}c = (-16)^2 - 4 \cdot (-4) \cdot a = 256 + 16a$.

Теперь составим и решим неравенство $D < 0$:

$256 + 16a < 0$

$16a < -256$

$a < \frac{-256}{16}$

$a < -16$

Этот же результат можно получить другим способом. Так как ветви параболы направлены вниз, ее наибольшее значение находится в вершине. Если наибольшее значение функции будет отрицательным, то и все остальные ее значения также будут отрицательными.

Найдем ординату вершины параболы $y_0$.

Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a_{коэф}} = -\frac{-16}{2 \cdot (-4)} = -2$.

Ордината вершины (наибольшее значение функции): $y_0 = y(x_0) = -4(-2)^2 - 16(-2) + a = -4(4) + 32 + a = -16 + 32 + a = 16 + a$.

Поставим условие, что наибольшее значение функции меньше нуля:

$y_0 < 0$

$16 + a < 0$

$a < -16$

Таким образом, при $a < -16$ функция $y = -4x^2 - 16x + a$ принимает отрицательные значения при всех действительных значениях $x$.

Ответ: $a < -16$.