Номер 378, страница 101 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

378. При каких значениях $p$ и $q$ вершина параболы $y = x^2 + px + q$ находится в точке $A(2; 5)$?

Для нахождения значений p и q воспользуемся свойствами вершины параболы. Уравнение параболы задано в виде $y = x^2 + px + q$. Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=1$, $b=p$ и $c=q$. Вершина параболы находится в точке A(2; 5).

Способ 1: Использование формулы координат вершины

Координата $x$ вершины параболы ($x_v$) вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. По условию задачи, $x_v = 2$, $a = 1$ и $b = p$. Подставим эти значения в формулу:

$2 = -\frac{p}{2 \cdot 1}$

Из этого уравнения находим значение p:

$2 = -\frac{p}{2}$

$p = -4$

Так как точка A(2; 5) является вершиной параболы, она принадлежит графику функции. Это означает, что ее координаты удовлетворяют уравнению параболы. Подставим значения $x=2$, $y=5$ и $p=-4$ в исходное уравнение $y = x^2 + px + q$:

$5 = (2)^2 + (-4) \cdot 2 + q$

$5 = 4 - 8 + q$

$5 = -4 + q$

Отсюда находим значение q:

$q = 5 + 4 = 9$

Способ 2: Использование вершинной формы уравнения параболы

Уравнение параболы можно записать в вершинной форме: $y = a(x - x_v)^2 + y_v$, где $(x_v, y_v)$ — координаты вершины. В нашем случае $a=1$ (коэффициент при $x^2$), $x_v = 2$ и $y_v = 5$. Подставим эти значения:

$y = 1 \cdot (x - 2)^2 + 5$

$y = (x - 2)^2 + 5$

Чтобы найти p и q, преобразуем это уравнение к стандартному виду $y = x^2 + px + q$, раскрыв скобки:

$y = (x^2 - 4x + 4) + 5$

$y = x^2 - 4x + 9$

Теперь сравним полученное уравнение с исходным $y = x^2 + px + q$. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем:

$p = -4$

$q = 9$

Ответ: $p=-4$, $q=9$.