Номер 383, страница 102 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

383. Участок земли прямоугольной формы надо огородить забором длиной 160 м. Какую наибольшую площадь может иметь этот участок?

Пусть стороны прямоугольного участка земли равны $a$ и $b$ метров. Длина забора — это периметр прямоугольника, который по условию равен 160 м.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле:

$P = 2(a+b)$

Подставим известное значение периметра:

$160 = 2(a+b)$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти сумму длин сторон:

$a+b = 80$

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле:

$S = a \cdot b$

Нам нужно найти максимальное значение площади $S$. Для этого выразим одну сторону через другую из уравнения для полупериметра. Например, выразим $b$:

$b = 80 - a$

Теперь подставим это выражение в формулу площади, чтобы получить зависимость площади от длины одной стороны $a$:

$S(a) = a \cdot (80 - a) = 80a - a^2$

Получилась квадратичная функция $S(a) = -a^2 + 80a$. Ее график — это парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $a^2$ отрицательный). Максимальное значение такой функции достигается в ее вершине.

Координату вершины параболы $y = kx^2 + mx + n$ по оси абсцисс можно найти по формуле $x_0 = -\frac{m}{2k}$.

В нашем случае $k = -1$ и $m = 80$. Найдем значение $a$, при котором площадь будет максимальной:

$a = -\frac{80}{2 \cdot (-1)} = -\frac{80}{-2} = 40$

Таким образом, одна сторона прямоугольника для максимальной площади равна 40 м. Найдем вторую сторону:

$b = 80 - a = 80 - 40 = 40$ м

Это означает, что наибольшую площадь при заданном периметре будет иметь квадрат. Вычислим эту максимальную площадь:

$S_{max} = 40 \text{ м} \cdot 40 \text{ м} = 1600 \text{ м}^2$

Ответ: наибольшая площадь, которую может иметь этот участок, составляет $1600 \text{ м}^2$.