Номер 381, страница 101 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

381. Найдите ординату вершины параболы, фрагмент которой изображён на рисунке 67.

Рис. 66

a

б

Рис. 67

Чтобы найти ординату вершины параболы, воспользуемся уравнением параболы в вершинной форме: $y = a(x - x_v)^2 + y_v$, где $(x_v, y_v)$ — координаты вершины параболы. Нам необходимо найти значение $y_v$.

Из графика на рисунке 67 видно, что парабола симметрична относительно оси $y$. Это означает, что абсцисса (координата $x$) вершины равна нулю: $x_v = 0$.Подставив это значение в уравнение, получим упрощенную форму: $y = a(x - 0)^2 + y_v$, то есть $y = ax^2 + y_v$.

Для нахождения неизвестных коэффициентов $a$ и $y_v$ выберем две точки на графике, через которые проходит парабола. Удобно взять точки с целочисленными координатами.
1. Точка пересечения с осью $x$: $(1, 0)$.
2. Другая точка на графике: $(2, 3)$.

Теперь подставим координаты этих точек в уравнение $y = ax^2 + y_v$ и получим систему из двух уравнений:
1. Для точки $(1, 0)$: $0 = a \cdot 1^2 + y_v \implies a + y_v = 0$.
2. Для точки $(2, 3)$: $3 = a \cdot 2^2 + y_v \implies 4a + y_v = 3$.

Решим полученную систему уравнений. Из первого уравнения выразим $a$: $a = -y_v$.Подставим это выражение во второе уравнение:
$4(-y_v) + y_v = 3$
$-4y_v + y_v = 3$
$-3y_v = 3$
$y_v = \frac{3}{-3} = -1$

Таким образом, ордината вершины параболы равна -1.
(Для проверки можем найти коэффициент $a = -y_v = -(-1) = 1$. Уравнение параболы: $y = x^2 - 1$. Проверим точку $(-2, 3)$: $3 = (-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$. Верно.)

Ответ: -1