Номер 377, страница 101 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

377. На рисунке 65 изображён график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$. Определите знаки коэффициентов $a, b$ и $c$.

Рис. 64

а

б

Рис. 65

а

б

Для определения знаков коэффициентов $a$, $b$ и $c$ квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ по её графику, воспользуемся следующими свойствами:

• Знак коэффициента $a$ определяется направлением ветвей параболы. Если ветви направлены вверх, то $a > 0$. Если ветви направлены вниз, то $a < 0$.
• Знак коэффициента $c$ определяется точкой пересечения графика с осью ординат (осью $y$). Так как значение функции при $x=0$ равно $c$ ($y(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c$), то если точка пересечения находится выше оси абсцисс (оси $x$), то $c > 0$. Если ниже, то $c < 0$. Если график проходит через начало координат, то $c = 0$.
• Знак коэффициента $b$ зависит от знака коэффициента $a$ и расположения вершины параболы. Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$. Из этой формулы можно выразить $b = -2ax_в$. Знак $b$ определяется из этого соотношения, анализируя знаки $a$ и $x_в$. В частности, если вершина находится левее оси $y$ ($x_в < 0$), то знаки $a$ и $b$ совпадают. Если вершина правее оси $y$ ($x_в > 0$), то знаки $a$ и $b$ противоположны.

а)

Рассмотрим график на рисунке 65, а.

1. Ветви параболы направлены вверх, следовательно, коэффициент $a$ положителен: $a > 0$.
2. График пересекает ось $y$ в точке с положительной ординатой (выше оси $x$). Так как $y(0) = c$, то коэффициент $c$ положителен: $c > 0$.
3. Вершина параболы находится в левой полуплоскости, то есть её абсцисса $x_в$ отрицательна: $x_в < 0$. Воспользуемся формулой $x_в = -\frac{b}{2a}$. Так как $x_в < 0$ и $a > 0$, получаем:
   $-\frac{b}{2a} < 0$
   $\frac{b}{2a} > 0$
   Поскольку $2a > 0$, для того чтобы дробь была положительной, числитель $b$ также должен быть положительным: $b > 0$.

Ответ: $a > 0, b > 0, c > 0$.

б)

Рассмотрим график на рисунке 65, б.

1. Ветви параболы направлены вниз, следовательно, коэффициент $a$ отрицательный: $a < 0$.
2. График пересекает ось $y$ в точке с отрицательной ординатой (ниже оси $x$). Так как $y(0) = c$, то коэффициент $c$ отрицательный: $c < 0$.
3. Вершина параболы находится в правой полуплоскости, то есть её абсцисса $x_в$ положительна: $x_в > 0$. Воспользуемся формулой $x_в = -\frac{b}{2a}$. Так как $x_в > 0$ и $a < 0$, получаем:
   $-\frac{b}{2a} > 0$
   $\frac{b}{2a} < 0$
   Поскольку знаменатель $2a$ отрицателен ($a < 0$), для того чтобы дробь была отрицательной, числитель $b$ должен быть положительным: $b > 0$.

Ответ: $a < 0, b > 0, c < 0$.