Номер 384, страница 102 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

384. Постройте график функции:

1) $y = \frac{8x + 2x^2 - x^3}{x}$;

2) $y = \frac{x^3 - 8}{x - 2} - 3$;

3) $y = \frac{x^4 - 16}{x^2 - 4}$;

4) $y = \frac{x^4 + 4x^2 - 5}{x^2 - 1}$.

1) $y = \frac{8x + 2x^2 - x^3}{x}$

Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$.

Упростим выражение, разделив каждый член числителя на $x$:

$y = \frac{8x}{x} + \frac{2x^2}{x} - \frac{x^3}{x} = 8 + 2x - x^2$

Таким образом, мы получили квадратичную функцию $y = -x^2 + 2x + 8$ с ограничением $x \neq 0$. Графиком этой функции является парабола.

Поскольку коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-1$), ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:

$x_v = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.

Подставим $x_v$ в уравнение, чтобы найти $y_v$:

$y_v = -(1)^2 + 2(1) + 8 = -1 + 2 + 8 = 9$.

Вершина параболы находится в точке $(1, 9)$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

Пересечение с осью Ox (при $y=0$):

$-x^2 + 2x + 8 = 0$

$x^2 - 2x - 8 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$. Точки пересечения: $(4, 0)$ и $(-2, 0)$.

Пересечение с осью Oy (при $x=0$):

Согласно ОДЗ, $x \neq 0$. Следовательно, график не пересекает ось Oy. В точке, где $x=0$, будет разрыв (выколотая точка). Найдем ее координаты, подставив $x=0$ в упрощенное уравнение:

$y = -0^2 + 2 \cdot 0 + 8 = 8$.

Координаты выколотой точки: $(0, 8)$.

Итак, мы строим параболу $y = -x^2 + 2x + 8$, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(1, 9)$, и выкалываем на ней точку $(0, 8)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = -x^2 + 2x + 8$ с выколотой точкой $(0, 8)$.

2) $y = \frac{x^3 - 8}{x - 2} - 3$

Найдем ОДЗ: $x - 2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$.

Упростим выражение. Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ для числителя дроби:

$x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)$.

Подставим в исходное уравнение:

$y = \frac{(x-2)(x^2 + 2x + 4)}{x-2} - 3$

При $x \neq 2$ можно сократить дробь:

$y = (x^2 + 2x + 4) - 3 = x^2 + 2x + 1$.

Полученное выражение является полным квадратом: $y = (x+1)^2$.

Графиком функции $y = (x+1)^2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на 1 единицу влево по оси Ox.

Вершина параболы находится в точке $(-1, 0)$.

Найдем выколотую точку. Функция не определена при $x=2$. Найдем значение $y$ для этого значения $x$ в упрощенной функции:

$y = (2+1)^2 = 3^2 = 9$.

Координаты выколотой точки: $(2, 9)$.

Строим параболу $y = (x+1)^2$ с вершиной в $(-1, 0)$ и выкалываем на ней точку $(2, 9)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = (x+1)^2$ с выколотой точкой $(2, 9)$.

3) $y = \frac{x^4 - 16}{x^2 - 4}$

Найдем ОДЗ: $x^2 - 4 \neq 0$, то есть $(x-2)(x+2) \neq 0$. Отсюда $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Упростим выражение. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя:

$x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)$.

Подставим в исходное уравнение:

$y = \frac{(x^2 - 4)(x^2 + 4)}{x^2 - 4}$

При $x \neq \pm 2$ можно сократить дробь:

$y = x^2 + 4$.

Графиком функции $y = x^2 + 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на 4 единицы вверх по оси Oy.

Вершина параболы находится в точке $(0, 4)$.

Найдем выколотые точки. Функция не определена при $x=2$ и $x=-2$.

При $x=2$: $y = 2^2 + 4 = 8$. Выколотая точка $(2, 8)$.

При $x=-2$: $y = (-2)^2 + 4 = 8$. Выколотая точка $(-2, 8)$.

Строим параболу $y = x^2 + 4$ с вершиной в $(0, 4)$ и выкалываем на ней точки $(2, 8)$ и $(-2, 8)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = x^2 + 4$ с выколотыми точками $(2, 8)$ и $(-2, 8)$.

4) $y = \frac{x^4 + 4x^2 - 5}{x^2 - 1}$

Найдем ОДЗ: $x^2 - 1 \neq 0$, то есть $(x-1)(x+1) \neq 0$. Отсюда $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Упростим выражение, разложив числитель на множители. Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$):

$t^2 + 4t - 5 = 0$.

По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -5$.

Тогда $t^2 + 4t - 5 = (t-1)(t+5)$.

Возвращаемся к замене:

$x^4 + 4x^2 - 5 = (x^2 - 1)(x^2 + 5)$.

Подставим в исходное уравнение:

$y = \frac{(x^2 - 1)(x^2 + 5)}{x^2 - 1}$

При $x \neq \pm 1$ можно сократить дробь:

$y = x^2 + 5$.

Графиком функции $y = x^2 + 5$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на 5 единиц вверх по оси Oy.

Вершина параболы находится в точке $(0, 5)$.

Найдем выколотые точки. Функция не определена при $x=1$ и $x=-1$.

При $x=1$: $y = 1^2 + 5 = 6$. Выколотая точка $(1, 6)$.

При $x=-1$: $y = (-1)^2 + 5 = 6$. Выколотая точка $(-1, 6)$.

Строим параболу $y = x^2 + 5$ с вершиной в $(0, 5)$ и выкалываем на ней точки $(1, 6)$ и $(-1, 6)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = x^2 + 5$ с выколотыми точками $(1, 6)$ и $(-1, 6)$.