Номер 391, страница 102 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

391. Известно, что $x_1$ и $x_2$ – нули функции $y=2x^2-(3a-1)x+a-4$, $x_1 < x_2$.

При каких значениях $a$ число 1 принадлежит промежутку $[x_1; x_2]$?

Дана функция $y = 2x^2 - (3a-1)x + a - 4$. Ее нули $x_1$ и $x_2$ являются корнями квадратного уравнения $2x^2 - (3a-1)x + a - 4 = 0$.

Графиком данной функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 2, что больше нуля, ветви параболы направлены вверх.

Условие, что число 1 принадлежит промежутку $[x_1; x_2]$ (где $x_1 < x_2$), означает, что точка с абсциссой $x=1$ находится между корнями параболы или совпадает с одним из них. Для параболы с ветвями вверх это геометрически означает, что значение функции в этой точке должно быть неположительным (меньше или равно нулю).

Таким образом, задача сводится к решению неравенства $y(1) \le 0$.

Подставим $x=1$ в уравнение функции:
$y(1) = 2 \cdot 1^2 - (3a-1) \cdot 1 + a - 4$
$y(1) = 2 - (3a-1) + a - 4$
$y(1) = 2 - 3a + 1 + a - 4$
$y(1) = -2a - 1$

Теперь решим неравенство:
$-2a - 1 \le 0$
$-1 \le 2a$
$a \ge -\frac{1}{2}$

Дополнительно убедимся, что при любых значениях $a$ у функции есть действительные корни. Для этого дискриминант $D$ соответствующего квадратного уравнения должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).
$D = (-(3a-1))^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a-4) = (3a-1)^2 - 8(a-4)$
$D = 9a^2 - 6a + 1 - 8a + 32 = 9a^2 - 14a + 33$
Рассмотрим выражение $9a^2 - 14a + 33$ как квадратичную функцию от $a$. Ее дискриминант $D_a = (-14)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 33 = 196 - 1188 = -992$.
Поскольку $D_a < 0$ и коэффициент при $a^2$ (равный 9) положителен, выражение $9a^2 - 14a + 33$ всегда положительно. Следовательно, исходный дискриминант $D$ всегда больше нуля. Это значит, что при любом значении параметра $a$ функция имеет два различных действительных корня.

Таким образом, единственным условием является $a \ge -1/2$.

Ответ: $a \in [-\frac{1}{2}; +\infty)$.