Номер 392, страница 102 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

392. Решите уравнение:

1) $x^4 - 13x^2 + 36 = 0;$

2) $x^4 - 5x^2 - 6 = 0;$

3) $x^4 + 9x^2 + 8 = 0;$

4) $x^4 - 16x^2 = 0.$

1) $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$

Это биквадратное уравнение. Для его решения введем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то должно выполняться условие $y \ge 0$.

Подставив $y$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - 13y + 36 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25$.

Корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{13 + 5}{2} = 9$.

$y_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{13 - 5}{2} = 4$.

Оба найденных значения для $y$ (9 и 4) являются положительными, поэтому они удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

1. Если $x^2 = 9$, то $x = \pm\sqrt{9}$, что дает нам корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

2. Если $x^2 = 4$, то $x = \pm\sqrt{4}$, что дает нам корни $x_3 = 2$ и $x_4 = -2$.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-3; -2; 2; 3$.

2) $x^4 - 5x^2 - 6 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем замену переменной: пусть $y = x^2$, при этом $y \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$y^2 - 5y - 6 = 0$.

Найдем его корни с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$.

Корни для $y$:

$y_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 7}{2} = 6$.

$y_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 7}{2} = -1$.

Проверяем условие $y \ge 0$. Корень $y_1 = 6$ удовлетворяет условию. Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет условию, так как $x^2$ не может быть отрицательным, поэтому этот корень является посторонним.

Выполним обратную замену для $y = 6$:

$x^2 = 6$, откуда $x = \pm\sqrt{6}$.

Ответ: $-\sqrt{6}; \sqrt{6}$.

3) $x^4 + 9x^2 + 8 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^2$, где $y \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$y^2 + 9y + 8 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $-9$, а их произведение равно $8$. Корнями являются $y_1 = -1$ и $y_2 = -8$.

Можно также найти корни через дискриминант: $D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49$.

$y_1 = \frac{-9 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-9 + 7}{2} = -1$.

$y_2 = \frac{-9 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-9 - 7}{2} = -8$.

Оба корня для $y$ отрицательны. Так как по условию замены $y = x^2 \ge 0$, то ни один из найденных корней не подходит.

Следовательно, уравнения $x^2 = -1$ и $x^2 = -8$ не имеют действительных решений.

Ответ: корней нет.

4) $x^4 - 16x^2 = 0$

Это неполное биквадратное уравнение. Его можно решить разложением на множители.

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x^2 - 16) = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. $x^2 = 0$, откуда $x_1 = 0$.

2. $x^2 - 16 = 0$. Это разность квадратов: $(x-4)(x+4)=0$. Отсюда $x_2 = 4$ и $x_3 = -4$.

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $-4; 0; 4$.