Номер 385, страница 102 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

385. Постройте график функции:

1) $y = \frac{(x+3)^3}{x+3}$;

2) $y = \frac{x^3 - 6x^2 + 8x}{x}$;

3) $y = \frac{x^4 - 1}{1 - x^2}$.

1) $ y = \frac{(x + 3)^3}{x + 3} $

Для построения графика данной функции, сначала найдем ее область определения. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:
$ x + 3 \neq 0 $
$ x \neq -3 $
Область определения функции (ОДЗ): $ D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty) $.
Теперь упростим формулу функции, сократив дробь на $ (x+3) $ при условии, что $ x \neq -3 $:
$ y = \frac{(x + 3)^3}{x + 3} = (x + 3)^2 $
Таким образом, нам нужно построить график функции $ y = (x + 3)^2 $ при условии, что $ x \neq -3 $.
Графиком функции $ y = (x + 3)^2 $ является парабола. Это стандартная парабола $ y = x^2 $, смещенная на 3 единицы влево вдоль оси Ox. Вершина параболы находится в точке $ (-3, 0) $. Ветви параболы направлены вверх.
Так как $ x \neq -3 $, точка на графике, соответствующая этому значению x, должна быть "выколота". Найдем координаты этой точки, подставив $ x = -3 $ в упрощенную функцию:
$ y = (-3 + 3)^2 = 0^2 = 0 $
Следовательно, точка с координатами $ (-3, 0) $ (вершина параболы) не принадлежит графику функции.
Для построения графика найдем несколько точек:
При $ x = -2, y = (-2+3)^2 = 1 $.
При $ x = -4, y = (-4+3)^2 = 1 $.
При $ x = -1, y = (-1+3)^2 = 4 $.
При $ x = -5, y = (-5+3)^2 = 4 $.

Ответ: Графиком функции является парабола $ y = (x+3)^2 $, ветви которой направлены вверх, с выколотой точкой в вершине $ (-3, 0) $.

2) $ y = \frac{x^3 - 6x^2 + 8x}{x} $

Найдем область определения функции. Знаменатель не должен равняться нулю:
$ x \neq 0 $
ОДЗ: $ D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) $.
Упростим выражение, вынеся в числителе общий множитель $ x $ за скобки и сократив дробь:
$ y = \frac{x(x^2 - 6x + 8)}{x} = x^2 - 6x + 8 $
Нам нужно построить график параболы $ y = x^2 - 6x + 8 $ с выколотой точкой при $ x = 0 $.
Найдем характеристики параболы:
Ветви направлены вверх, так как коэффициент при $ x^2 $ положителен (равен 1).
Координаты вершины параболы $ (x_0, y_0) $:
$ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3 $
$ y_0 = (3)^2 - 6(3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1 $
Вершина находится в точке $ (3, -1) $.
Найдем точки пересечения с осью Ox (нули функции), решив уравнение $ x^2 - 6x + 8 = 0 $. По теореме Виета, корни $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = 4 $. Точки пересечения: $ (2, 0) $ и $ (4, 0) $.
Найдем координаты выколотой точки. Она соответствует значению $ x = 0 $.
$ y = (0)^2 - 6(0) + 8 = 8 $
Таким образом, точка $ (0, 8) $ не принадлежит графику. Эта точка является точкой пересечения параболы $ y = x^2 - 6x + 8 $ с осью Oy.

Ответ: Графиком функции является парабола $ y = x^2 - 6x + 8 $ с вершиной в точке $ (3, -1) $ и выколотой точкой $ (0, 8) $.

3) $ y = \frac{x^4 - 1}{1 - x^2} $

Найдем область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю:
$ 1 - x^2 \neq 0 $
$ x^2 \neq 1 $
$ x \neq 1 $ и $ x \neq -1 $.
ОДЗ: $ D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty) $.
Упростим выражение. Разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:
$ x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) $
$ 1 - x^2 = -(x^2 - 1) $
Теперь подставим разложенные выражения в функцию и сократим дробь:
$ y = \frac{(x^2 - 1)(x^2 + 1)}{-(x^2 - 1)} = -(x^2 + 1) = -x^2 - 1 $
Итак, нам нужно построить график параболы $ y = -x^2 - 1 $ при условиях $ x \neq 1 $ и $ x \neq -1 $.
График функции $ y = -x^2 - 1 $ — это парабола. Это стандартная парабола $ y = -x^2 $, смещенная на 1 единицу вниз вдоль оси Oy. Ветви параболы направлены вниз. Вершина находится в точке $ (0, -1) $.
Найдем координаты выколотых точек:
При $ x = 1 $: $ y = -(1)^2 - 1 = -1 - 1 = -2 $. Выколотая точка $ (1, -2) $.
При $ x = -1 $: $ y = -(-1)^2 - 1 = -1 - 1 = -2 $. Выколотая точка $ (-1, -2) $.

Ответ: Графиком функции является парабола $ y = -x^2 - 1 $ с вершиной в точке $ (0, -1) $ и выколотыми точками $ (1, -2) $ и $ (-1, -2) $.