Номер 388, страница 102 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

388. Постройте график функции $y = x^2 + 2x - 3$. Используя построенный график, определите, при каких значениях $a$ уравнение $x^2 + 2x - 3 = a$:

1) имеет два корня;

2) имеет один корень;

3) не имеет корней.

Первым шагом построим график функции $y = x^2 + 2x - 3$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Для построения найдем ключевые точки:

• Вершина параболы. Координаты вершины $(x_v, y_v)$ находятся по формулам:
  $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
  $y_v = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
  Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1, -4)$.
• Точки пересечения с осями координат.
  С осью Oy (при $x=0$): $y = 0^2 + 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Точка пересечения — $(0, -3)$.
  С осью Ox (при $y=0$): $x^2 + 2x - 3 = 0$. Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение -3. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$. Точки пересечения — $(1, 0)$ и $(-3, 0)$.
• Дополнительные точки. Используем ось симметрии $x = -1$. Точка $(0, -3)$ находится на расстоянии 1 вправо от оси симметрии. Значит, симметричная ей точка будет на расстоянии 1 влево от оси, т.е. при $x = -2$. Ее ордината будет такой же: $y = -3$. Получаем точку $(-2, -3)$.

Теперь мы можем построить параболу, проходящую через точки $(-3, 0)$, $(-2, -3)$, $(-1, -4)$, $(0, -3)$, $(1, 0)$.

Далее, рассмотрим уравнение $x^2 + 2x - 3 = a$. Левая часть этого уравнения — это наша функция $y = x^2 + 2x - 3$. Правая часть, $y=a$, — это семейство горизонтальных прямых, параллельных оси Ox.

Количество корней уравнения $x^2 + 2x - 3 = a$ соответствует количеству точек пересечения графика параболы $y = x^2 + 2x - 3$ и прямой $y = a$.

1) имеет два корня;
Уравнение будет иметь два корня, если прямая $y=a$ пересекает параболу в двух точках. Глядя на график, мы видим, что это происходит, когда прямая проходит выше вершины параболы. Минимальное значение функции (координата $y$ вершины) равно -4. Следовательно, для двух точек пересечения необходимо, чтобы $a$ было строго больше -4.

Ответ: $a > -4$

2) имеет один корень;
Уравнение будет иметь один корень, если прямая $y=a$ касается параболы в одной точке. Это возможно только в вершине параболы. Координата $y$ вершины равна -4. Следовательно, при $a = -4$ прямая коснется параболы в ее самой низкой точке.

Ответ: $a = -4$

3) не имеет корней.
Уравнение не будет иметь корней, если прямая $y=a$ не имеет общих точек с параболой. Это происходит, когда прямая расположена ниже вершины параболы. Так как самая низкая точка параболы имеет координату $y=-4$, то при любом значении $a$, которое меньше -4, общих точек не будет.

Ответ: $a < -4$