Номер 394, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

394. Выполните действия:

1) $\frac{b+3}{b-3} + \frac{b-2}{b+2}$;

2) $\frac{p+4}{p-1} - \frac{p+20}{p+5}$;

3) $\frac{x}{2x+3} - \frac{x+1}{2x-3}$.

1) Чтобы сложить дроби $\frac{b+3}{b-3}$ и $\frac{b-2}{b+2}$, необходимо привести их к общему знаменателю. Общим знаменателем является произведение их знаменателей: $(b-3)(b+2)$.
Приводим дроби к общему знаменателю и складываем их числители:
$\frac{b+3}{b-3} + \frac{b-2}{b+2} = \frac{(b+3)(b+2)}{(b-3)(b+2)} + \frac{(b-2)(b-3)}{(b-3)(b+2)} = \frac{(b+3)(b+2) + (b-2)(b-3)}{(b-3)(b+2)}$.
Раскроем скобки в числителе. Для этого перемножим двучлены:
$(b+3)(b+2) = b^2 + 2b + 3b + 6 = b^2 + 5b + 6$
$(b-2)(b-3) = b^2 - 3b - 2b + 6 = b^2 - 5b + 6$
Теперь сложим полученные выражения в числителе:
$(b^2 + 5b + 6) + (b^2 - 5b + 6) = b^2 + b^2 + 5b - 5b + 6 + 6 = 2b^2 + 12$.
Раскроем скобки в знаменателе для получения итогового вида ответа:
$(b-3)(b+2) = b^2 + 2b - 3b - 6 = b^2 - b - 6$.
В результате получаем дробь: $\frac{2b^2 + 12}{b^2 - b - 6}$.

Ответ: $\frac{2b^2 + 12}{b^2 - b - 6}$

2) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{p+4}{p-1}$ и $\frac{p+20}{p+5}$, приведем их к общему знаменателю, который равен произведению их знаменателей: $(p-1)(p+5)$.
Приводим дроби к общему знаменателю и вычитаем их числители:
$\frac{p+4}{p-1} - \frac{p+20}{p+5} = \frac{(p+4)(p+5)}{(p-1)(p+5)} - \frac{(p+20)(p-1)}{(p-1)(p+5)} = \frac{(p+4)(p+5) - (p+20)(p-1)}{(p-1)(p+5)}$.
Раскроем скобки в числителе:
$(p+4)(p+5) = p^2 + 5p + 4p + 20 = p^2 + 9p + 20$
$(p+20)(p-1) = p^2 - p + 20p - 20 = p^2 + 19p - 20$
Теперь выполним вычитание в числителе (важно не забыть поменять знаки у второго выражения):
$(p^2 + 9p + 20) - (p^2 + 19p - 20) = p^2 + 9p + 20 - p^2 - 19p + 20 = -10p + 40$.
Раскроем скобки в знаменателе:
$(p-1)(p+5) = p^2 + 5p - p - 5 = p^2 + 4p - 5$.
В результате получаем дробь: $\frac{-10p + 40}{p^2 + 4p - 5}$.

Ответ: $\frac{-10p + 40}{p^2 + 4p - 5}$

3) Для вычитания дробей $\frac{x}{2x+3}$ и $\frac{x+1}{2x-3}$ найдем общий знаменатель. Он равен произведению знаменателей $(2x+3)(2x-3)$, что по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ равно $(2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9$.
Приводим дроби к общему знаменателю $4x^2 - 9$:
$\frac{x}{2x+3} - \frac{x+1}{2x-3} = \frac{x(2x-3)}{4x^2-9} - \frac{(x+1)(2x+3)}{4x^2-9} = \frac{x(2x-3) - (x+1)(2x+3)}{4x^2-9}$.
Раскроем скобки в числителе:
$x(2x-3) = 2x^2 - 3x$
$(x+1)(2x+3) = 2x^2 + 3x + 2x + 3 = 2x^2 + 5x + 3$
Выполним вычитание в числителе:
$(2x^2 - 3x) - (2x^2 + 5x + 3) = 2x^2 - 3x - 2x^2 - 5x - 3 = -8x - 3$.
Получаем итоговую дробь: $\frac{-8x - 3}{4x^2 - 9}$.

Ответ: $\frac{-8x-3}{4x^2-9}$