Номер 395, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

395. Упростите выражение:

1) $(2\sqrt{a} + 3\sqrt{b})(4a - 6\sqrt{ab} + 9b) - 9\sqrt{9b^3};$

2) $(3\sqrt{2} - 2\sqrt{28} + 4\sqrt{63}) \cdot \sqrt{7} - \sqrt{126};$

3) $(2 - \sqrt{3} + \sqrt{6})(2 + \sqrt{3} - \sqrt{6}).$

1) $(2\sqrt{a} + 3\sqrt{b})(4a - 6\sqrt{ab} + 9b) - 9\sqrt{9b^3}$

Заметим, что первая часть выражения $(2\sqrt{a} + 3\sqrt{b})(4a - 6\sqrt{ab} + 9b)$ представляет собой произведение, которое соответствует формуле суммы кубов: $(x+y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$.

В нашем случае, пусть $x = 2\sqrt{a}$ и $y = 3\sqrt{b}$. Тогда:

$x^2 = (2\sqrt{a})^2 = 4a$

$y^2 = (3\sqrt{b})^2 = 9b$

$xy = 2\sqrt{a} \cdot 3\sqrt{b} = 6\sqrt{ab}$

Таким образом, выражение $(2\sqrt{a} + 3\sqrt{b})(4a - 6\sqrt{ab} + 9b)$ можно свернуть в сумму кубов:

$(2\sqrt{a})^3 + (3\sqrt{b})^3 = 8(\sqrt{a})^3 + 27(\sqrt{b})^3 = 8a\sqrt{a} + 27b\sqrt{b}$.

Теперь упростим вторую часть исходного выражения: $-9\sqrt{9b^3}$.

$\sqrt{9b^3} = \sqrt{9 \cdot b^2 \cdot b} = 3b\sqrt{b}$ (при условии $b \ge 0$).

Тогда $-9\sqrt{9b^3} = -9 \cdot 3b\sqrt{b} = -27b\sqrt{b}$.

Теперь объединим обе упрощенные части:

$(8a\sqrt{a} + 27b\sqrt{b}) - 27b\sqrt{b} = 8a\sqrt{a}$.

Ответ: $8a\sqrt{a}$.

2) $(3\sqrt{2} - 2\sqrt{28} + 4\sqrt{63}) \cdot \sqrt{7} - \sqrt{126}$

Сначала упростим корни, вынеся множители из-под знака корня:

$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$

$\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$

$\sqrt{126} = \sqrt{9 \cdot 14} = 3\sqrt{14}$

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$(3\sqrt{2} - 2(2\sqrt{7}) + 4(3\sqrt{7})) \cdot \sqrt{7} - 3\sqrt{14}$.

Упростим выражение в скобках:

$3\sqrt{2} - 4\sqrt{7} + 12\sqrt{7} = 3\sqrt{2} + (12-4)\sqrt{7} = 3\sqrt{2} + 8\sqrt{7}$.

Теперь умножим результат на $\sqrt{7}$:

$(3\sqrt{2} + 8\sqrt{7}) \cdot \sqrt{7} = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{7} + 8\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = 3\sqrt{14} + 8 \cdot 7 = 3\sqrt{14} + 56$.

И, наконец, вычтем последний член:

$(3\sqrt{14} + 56) - 3\sqrt{14} = 56$.

Ответ: $56$.

3) $(2 - \sqrt{3} + \sqrt{6})(2 + \sqrt{3} - \sqrt{6})$

Сгруппируем слагаемые так, чтобы применить формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$(2 - (\sqrt{3} - \sqrt{6}))(2 + (\sqrt{3} - \sqrt{6}))$.

Здесь $a = 2$ и $b = \sqrt{3} - \sqrt{6}$. Применим формулу:

$a^2 - b^2 = 2^2 - (\sqrt{3} - \sqrt{6})^2$.

Раскроем квадрат разности $(\sqrt{3} - \sqrt{6})^2$ по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 3 - 2\sqrt{18} + 6 = 9 - 2\sqrt{18}$.

Упростим корень $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$.

Тогда $(\sqrt{3} - \sqrt{6})^2 = 9 - 2(3\sqrt{2}) = 9 - 6\sqrt{2}$.

Подставим это обратно в наше выражение:

$4 - (9 - 6\sqrt{2}) = 4 - 9 + 6\sqrt{2} = -5 + 6\sqrt{2}$.

Ответ: $-5 + 6\sqrt{2}$.