Номер 389, страница 102 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

389. Постройте график функции $y = -x^2 - 4x + 5$. Используя построенный график, определите, сколько корней имеет уравнение $-x^2 - 4x + 5 = a$ в зависимости от значения $a$.

Постройте график функции $y = -x^2 - 4x + 5$.

Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-1$), ветви параболы направлены вниз.

Для построения графика найдем его ключевые точки.

1. Координаты вершины параболы.
Абсцисса вершины $x_в$ находится по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$:

$x_в = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = \frac{4}{-2} = -2$.

Ордината вершины $y_в$ находится подстановкой $x_в$ в уравнение функции:

$y_в = -(-2)^2 - 4(-2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9$.

Следовательно, вершина параболы находится в точке $(-2, 9)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
Пересечение с осью Oy (при $x=0$):

$y = -0^2 - 4 \cdot 0 + 5 = 5$.

Точка пересечения с Oy: $(0, 5)$.

Пересечение с осью Ox (при $y=0$):

$-x^2 - 4x + 5 = 0$

$x^2 + 4x - 5 = 0$

Решая это квадратное уравнение (например, по теореме Виета), находим корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$.

Точки пересечения с Ox: $(1, 0)$ и $(-5, 0)$.

3. Ось симметрии и дополнительные точки.
Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая $x = -2$.

Точка $(0, 5)$ находится на расстоянии 2 единицы вправо от оси симметрии. Симметричная ей точка будет находиться на расстоянии 2 единицы влево, то есть ее абсцисса будет $x = -2 - 2 = -4$. Координаты симметричной точки: $(-4, 5)$.

Используя найденные точки — вершину $(-2, 9)$, точки пересечения с осями $(1, 0)$, $(-5, 0)$, $(0, 5)$ и точку $(-4, 5)$, можно построить график.

Ответ: График функции $y = -x^2 - 4x + 5$ — это парабола с вершиной в точке $(-2, 9)$, ветвями, направленными вниз. Парабола пересекает ось ординат в точке $(0, 5)$ и ось абсцисс в точках $(-5, 0)$ и $(1, 0)$.

Используя построенный график, определите, сколько корней имеет уравнение $-x^2 - 4x + 5 = a$ в зависимости от значения $a$.

Количество корней уравнения $-x^2 - 4x + 5 = a$ соответствует количеству точек пересечения графика функции $y = -x^2 - 4x + 5$ и горизонтальной прямой $y = a$.

График функции $y = -x^2 - 4x + 5$ — это парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(-2, 9)$. Максимальное значение функции равно 9.

Рассмотрим различные случаи в зависимости от значения параметра $a$:

1. Если прямая $y=a$ расположена выше вершины параболы, то есть при $a > 9$, у них нет общих точек. Это означает, что уравнение не имеет корней.

2. Если прямая $y=a$ касается параболы в ее вершине, то есть при $a = 9$, у них есть ровно одна общая точка. Это означает, что уравнение имеет один корень.

3. Если прямая $y=a$ расположена ниже вершины параболы, то есть при $a < 9$, она пересекает параболу в двух точках. Это означает, что уравнение имеет два корня.

Ответ: Уравнение $-x^2 - 4x + 5 = a$ в зависимости от значения $a$ имеет:
- нет корней при $a > 9$;
- один корень при $a = 9$;
- два корня при $a < 9$.