Номер 390, страница 102 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

390. Пусть $x_1$ и $x_2$ — нули функции $y = -3x^2 - (3a - 2)x + 2a + 3$. При каких значениях $a$ выполняется неравенство $x_1 < -2 < x_2$?

Пусть $f(x) = -3x^2 - (3a-2)x + 2a + 3$. По условию, $x_1$ и $x_2$ являются нулями этой функции, то есть корнями квадратного уравнения $-3x^2 - (3a-2)x + 2a + 3 = 0$.

Требуется найти значения параметра $a$, при которых выполняется неравенство $x_1 < -2 < x_2$. Это означает, что число $-2$ должно находиться строго между корнями квадратного трехчлена.

Графиком функции $y = f(x)$ является парабола. Коэффициент при старшем члене $x^2$ равен $-3$. Так как этот коэффициент отрицательный, ветви параболы направлены вниз.

Для того чтобы число $-2$ лежало между корнями параболы, ветви которой направлены вниз, необходимо и достаточно, чтобы значение функции в этой точке было положительным. То есть, должно выполняться неравенство $f(-2) > 0$. Это условие гарантирует, что парабола пересекает ось абсцисс в двух различных точках (так как, имея отрицательные бесконечные ветви, она должна где-то достичь положительного значения, а значит, и пересечь ось $Ox$), и что точка с абсциссой $-2$ находится между этими пересечениями.

Вычислим значение функции $f(x)$ в точке $x = -2$:

$f(-2) = -3(-2)^2 - (3a - 2)(-2) + 2a + 3$

$f(-2) = -3 \cdot 4 + (3a - 2) \cdot 2 + 2a + 3$

$f(-2) = -12 + 6a - 4 + 2a + 3$

Приводя подобные слагаемые, получаем:

$f(-2) = (6a + 2a) + (-12 - 4 + 3) = 8a - 13$

Теперь решим неравенство $f(-2) > 0$:

$8a - 13 > 0$

$8a > 13$

$a > \frac{13}{8}$

Следовательно, условие задачи выполняется при всех значениях $a$, больших $\frac{13}{8}$.

Ответ: $a > \frac{13}{8}$ или $a \in (\frac{13}{8}; +\infty)$.