Номер 396, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

396. Моторная лодка отправилась по реке от одной пристани к другой и вернулась обратно через 2,5 ч, потратив на стоянку 25 мин. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки равна 20 км/ч, а расстояние между пристанями – 20 км.

Для решения задачи составим уравнение, но сначала подготовим данные.

1. Найдем общее время, которое лодка находилась в движении. Известно, что вся поездка заняла 2,5 часа, а стоянка длилась 25 минут. Переведем минуты в часы для согласованности единиц измерения.

Время стоянки: $T_{ст} = 25 \text{ мин} = \frac{25}{60} \text{ ч} = \frac{5}{12} \text{ ч}$.

Теперь вычтем время стоянки из общего времени, чтобы найти чистое время движения лодки:

$T_{движ} = T_{общ} - T_{ст} = 2,5 \text{ ч} - \frac{5}{12} \text{ ч} = \frac{5}{2} - \frac{5}{12} = \frac{30}{12} - \frac{5}{12} = \frac{25}{12} \text{ ч}$.

2. Введем переменную и выразим через нее скорости движения.
Пусть $x$ км/ч — это искомая скорость течения реки.
Собственная скорость лодки по условию равна $v_л = 20$ км/ч.
Расстояние между пристанями $S = 20$ км.

Когда лодка плывет по течению, ее скорость равна сумме собственной скорости и скорости течения:
$v_{по} = (20 + x)$ км/ч.

Когда лодка плывет против течения, ее скорость равна разности собственной скорости и скорости течения:
$v_{против} = (20 - x)$ км/ч.

3. Составим уравнение. Общее время движения $T_{движ}$ равно сумме времени движения по течению ($t_{по}$) и времени движения против течения ($t_{против}$).

Время вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$.
$t_{по} = \frac{20}{20 + x}$
$t_{против} = \frac{20}{20 - x}$

Основное уравнение:
$t_{по} + t_{против} = T_{движ}$
$\frac{20}{20 + x} + \frac{20}{20 - x} = \frac{25}{12}$

4. Решим полученное уравнение.

Вынесем общий множитель 20 в левой части:
$20 \left( \frac{1}{20 + x} + \frac{1}{20 - x} \right) = \frac{25}{12}$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $(20+x)(20-x) = 400 - x^2$:
$20 \left( \frac{20 - x + 20 + x}{400 - x^2} \right) = \frac{25}{12}$
$20 \left( \frac{40}{400 - x^2} \right) = \frac{25}{12}$
$\frac{800}{400 - x^2} = \frac{25}{12}$

Используем свойство пропорции (крест-накрест):
$800 \cdot 12 = 25 \cdot (400 - x^2)$
$9600 = 10000 - 25x^2$

Перенесем слагаемые, чтобы выделить $x^2$:
$25x^2 = 10000 - 9600$
$25x^2 = 400$
$x^2 = \frac{400}{25}$
$x^2 = 16$
$x = \pm\sqrt{16}$
$x_1 = 4$, $x_2 = -4$

Поскольку скорость течения реки — величина положительная, то нам подходит только корень $x=4$.

Ответ: 4 км/ч.