Номер 3, страница 105 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Постройте график функции:

1) $y = |x| - 3;$

2) $y = x^2 - 4|x|;$

3) $y = x^2 + 2|x| - 3;$

4) $y = 2|x| - x^2;$

5) $y = \frac{4}{|x|};$

6) $y = \frac{4}{|x|} - 2;$

7) $y = \frac{4}{|x| - 2};$

8) $y = \sqrt{|x|}.$

1) $y = |x| - 3$

Для построения графика функции $y = |x| - 3$ воспользуемся определением модуля и методом преобразования графиков.

1. Данная функция является четной, так как $y(-x) = |-x| - 3 = |x| - 3 = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

2. Построим часть графика для $x \ge 0$. На этом промежутке $|x| = x$, и функция принимает вид $y = x - 3$. Это линейная функция, ее график — прямая линия. Для построения прямой достаточно двух точек:

- при $x = 0$, $y = 0 - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$.

- при $x = 3$, $y = 3 - 3 = 0$. Точка $(3, 0)$.

Таким образом, для $x \ge 0$ график представляет собой луч, выходящий из точки $(0, -3)$ и проходящий через точку $(3, 0)$.

3. В силу симметрии относительно оси Oy, отразим построенный луч, чтобы получить часть графика для $x < 0$. Точка $(3, 0)$ перейдет в точку $(-3, 0)$, а точка $(0, -3)$ останется на месте. Получим луч, выходящий из точки $(0, -3)$ и проходящий через $(-3, 0)$.

Альтернативно, для $x < 0$ имеем $|x| = -x$, и функция $y = -x - 3$. Это также прямая, проходящая через точки $(-3, 0)$ и $(0, -3)$.

Ответ: График функции представляет собой "галочку" (объединение двух лучей), с вершиной в точке $(0, -3)$, ветви которой направлены вверх и пересекают ось Ox в точках $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.

2) $y = x^2 - 4|x|$

1. Заметим, что $x^2 = |x|^2$. Функцию можно переписать в виде $y = |x|^2 - 4|x|$. Это четная функция, так как она зависит только от $|x|$. Следовательно, ее график симметричен относительно оси Oy.

2. Построим часть графика для $x \ge 0$. На этом промежутке $|x| = x$, и функция принимает вид $y = x^2 - 4x$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх.

3. Найдем координаты вершины этой параболы: $x_B = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = 2$. Значение функции в вершине: $y_B = 2^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$. Координаты вершины: $(2, -4)$.

4. Найдем точки пересечения с осями для $x \ge 0$:

- Пересечение с осью Oy: $x=0 \Rightarrow y=0$. Точка $(0, 0)$.

- Пересечение с осью Ox: $y=0 \Rightarrow x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(x-4)=0$. Корни $x=0$ и $x=4$. Точки $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

5. Таким образом, для $x \ge 0$ график представляет собой часть параболы с вершиной в $(2, -4)$, проходящую через точки $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

6. Отразим эту часть графика симметрично относительно оси Oy. Вершина $(2, -4)$ отобразится в точку $(-2, -4)$. Точка $(4, 0)$ отобразится в точку $(-4, 0)$. Точка $(0, 0)$ останется на месте.

Ответ: График функции имеет форму, напоминающую букву "W". Он состоит из двух симметричных дуг парабол с вершинами в точках $(2, -4)$ и $(-2, -4)$. График пересекает ось Ox в точках $(-4, 0)$, $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

3) $y = x^2 + 2|x| - 3$

1. Функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^2 + 2|-x| - 3 = x^2 + 2|x| - 3 = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.

2. Построим часть графика для $x \ge 0$. На этом промежутке $|x|=x$, и функция принимает вид $y = x^2 + 2x - 3$. Это парабола с ветвями вверх.

3. Вершина параболы $y = x^2 + 2x - 3$ находится в точке с абсциссой $x_B = \frac{-2}{2 \cdot 1} = -1$. Эта точка не принадлежит промежутку $x \ge 0$. Так как ветви параболы направлены вверх, на всем промежутке $[0, +\infty)$ функция будет возрастать.

4. Найдем ключевые точки для $x \ge 0$:

- Пересечение с осью Oy: $x=0 \Rightarrow y = 0^2 + 2(0) - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$.

- Пересечение с осью Ox: $y=0 \Rightarrow x^2 + 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x+3)(x-1)=0$. Так как $x \ge 0$, выбираем корень $x=1$. Точка $(1, 0)$.

5. Для $x \ge 0$ график — это часть параболы, начинающаяся в точке минимума всей функции $(0, -3)$ и проходящая через $(1, 0)$.

6. Отражая эту часть графика симметрично относительно оси Oy, получаем вторую половину графика. Точка $(1, 0)$ отобразится в точку $(-1, 0)$.

Ответ: График состоит из двух симметричных дуг парабол, образующих "чашу" с точкой минимума в $(0, -3)$. График пересекает ось Ox в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.

4) $y = 2|x| - x^2$

1. Функция четная, так как $y(-x) = 2|-x| - (-x)^2 = 2|x| - x^2 = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.

2. Построим часть графика для $x \ge 0$. На этом промежутке $|x|=x$, и функция принимает вид $y = 2x - x^2$. Это парабола с ветвями вниз.

3. Найдем вершину параболы: $x_B = \frac{-2}{2(-1)} = 1$. $y_B = 2(1) - 1^2 = 1$. Вершина находится в точке $(1, 1)$.

4. Найдем точки пересечения с осями для $x \ge 0$:

- Пересечение с осью Oy: $x=0 \Rightarrow y=0$. Точка $(0, 0)$.

- Пересечение с осью Ox: $y=0 \Rightarrow 2x - x^2 = 0 \Rightarrow x(2-x)=0$. Корни $x=0$ и $x=2$. Точки $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

5. Для $x \ge 0$ график представляет собой дугу параболы с вершиной в $(1, 1)$, проходящую через точки $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

6. Отразим эту дугу симметрично относительно оси Oy. Вершина $(1, 1)$ перейдет в точку $(-1, 1)$, а точка $(2, 0)$ — в точку $(-2, 0)$.

Ответ: График имеет форму, напоминающую букву "M". Он состоит из двух симметричных дуг парабол с вершинами (точками максимума) в $(1, 1)$ и $(-1, 1)$. График пересекает оси в точках $(-2, 0)$, $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

5) $y = \frac{4}{|x|}$

1. Функция четная, так как $y(-x) = \frac{4}{|-x|} = \frac{4}{|x|} = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy. Область определения: $x \neq 0$.

2. Построим часть графика для $x > 0$. Функция принимает вид $y = \frac{4}{x}$. Это стандартная гипербола, расположенная в первой координатной четверти.

3. Оси координат являются асимптотами для этой части графика: ось Oy ($x=0$) — вертикальная асимптота, ось Ox ($y=0$) — горизонтальная асимптота.

4. Несколько точек для построения: при $x=1, y=4$; при $x=2, y=2$; при $x=4, y=1$.

5. Отразим построенную ветвь гиперболы симметрично относительно оси Oy. Получим вторую ветвь, расположенную во второй координатной четверти. Она будет проходить через точки $(-1, 4), (-2, 2), (-4, 1)$.

Ответ: График состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в I и II координатных четвертях, симметричных относительно оси Oy. Ось Oy является вертикальной асимптотой, а ось Ox — горизонтальной.

6) $y = \frac{4}{|x|} - 2$

1. Этот график можно получить из графика функции $y = \frac{4}{|x|}$ (задание 5) путем сдвига на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

2. Функция четная, график симметричен относительно оси Oy. Область определения: $x \neq 0$. Вертикальная асимптота: $x=0$. Горизонтальная асимптота сместится вниз на 2 единицы и станет $y=-2$.

3. Построим часть графика для $x > 0$. Функция принимает вид $y = \frac{4}{x} - 2$.

4. Найдем точку пересечения с осью Ox: $y=0 \Rightarrow \frac{4}{x} - 2 = 0 \Rightarrow \frac{4}{x} = 2 \Rightarrow x=2$. Точка $(2, 0)$.

5. Для $x > 0$ график — ветвь гиперболы с асимптотами $x=0$ и $y=-2$, проходящая через $(2, 0)$.

6. Отразим эту часть графика симметрично относительно оси Oy. Точка $(2, 0)$ перейдет в точку $(-2, 0)$. Горизонтальная асимптота $y=-2$ и вертикальная асимптота $x=0$ останутся на месте.

Ответ: График состоит из двух ветвей гиперболы, симметричных относительно оси Oy. Вертикальная асимптота — $x=0$, горизонтальная асимптота — $y=-2$. График пересекает ось Ox в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

7) $y = \frac{4}{|x|-2}$

1. Функция четная, график симметричен относительно оси Oy.

2. Область определения: знаменатель не равен нулю. $|x|-2 \neq 0 \Rightarrow |x| \neq 2$, т.е. $x \neq 2$ и $x \neq -2$. Таким образом, прямые $x=2$ и $x=-2$ являются вертикальными асимптотами. Горизонтальная асимптота — $y=0$, так как степень числителя (0) меньше степени знаменателя (1).

3. Построим часть графика для $x \ge 0$ (где $x \neq 2$). Функция принимает вид $y = \frac{4}{x-2}$. Это гипербола $y=4/x$, смещенная на 2 единицы вправо.

4. Исследуем эту часть:

- Пересечение с осью Oy: $x=0 \Rightarrow y = \frac{4}{0-2} = -2$. Точка $(0, -2)$.

- На интервале $[0, 2)$ график начинается в точке $(0, -2)$ и уходит вниз к вертикальной асимптоте $x=2$ ($y \to -\infty$).

- На интервале $(2, +\infty)$ график приходит от $+\infty$ (справа от асимптоты $x=2$) и приближается к горизонтальной асимптоте $y=0$. Точки для построения: $(3, 4)$, $(4, 2)$.

5. Отразим построенную часть графика симметрично относительно оси Oy. Асимптота $x=2$ отразится в асимптоту $x=-2$. Точка $(0, -2)$ останется на месте. Ветвь из первого квадранта отразится во второй.

Ответ: График состоит из трех частей. Центральная часть — "шапочка" с вершиной в точке $(0, -2)$, ограниченная вертикальными асимптотами $x=-2$ и $x=2$. Две боковые части — ветви гиперболы, расположенные в I и II квадрантах, приближающиеся к горизонтальной асимптоте $y=0$ и вертикальным асимптотам $x=2$ и $x=-2$ соответственно.

8) $y = \sqrt{|x|}$

1. Функция четная, так как $y(-x) = \sqrt{|-x|} = \sqrt{|x|} = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy. Область определения: $|x| \ge 0$, что верно для всех действительных чисел $x$. Область значений: $y \ge 0$.

2. Построим часть графика для $x \ge 0$. Функция принимает вид $y = \sqrt{x}$. Это график стандартной функции квадратного корня.

3. График начинается в точке $(0, 0)$ и плавно поднимается вверх и вправо. Ключевые точки: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(4, 2)$.

4. Отразим эту часть графика симметрично относительно оси Oy. Точка $(0, 0)$ останется на месте. Точка $(1, 1)$ перейдет в $(-1, 1)$, точка $(4, 2)$ — в $(-4, 2)$. Эта левая часть графика соответствует функции $y=\sqrt{-x}$ для $x \le 0$.

Ответ: График состоит из двух ветвей, выходящих из начала координат $(0, 0)$ и симметричных относительно оси Oy. Правая ветвь — это график $y=\sqrt{x}$, левая — $y=\sqrt{-x}$. Внешне график напоминает крылья чайки.