Номер 4, страница 109 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

4. Постройте график функции:

1) $y = \left| \left|x\right| - 3 \right|$;

2) $y = \left|x^2 - 4\left|x\right|\right|$;

3) $y = \left|x^2 + 2\left|x\right| - 3\right|$;

4) $y = \left|2\left|x\right| - x^2\right|$;

5) $y = \left|\frac{4}{\left|x\right|} - 2\right|$;

6) $y = \left|\frac{4}{\left|x\right| - 2}\right|$.

Для построения графиков функций, содержащих модуль, удобно использовать метод последовательных преобразований. Общая схема для функций вида $y = |f(|x|)|$ такова:

1. Строится график базовой функции $y = f(x)$.
2. Строится график функции $y = f(|x|)$. Для этого часть графика $y=f(x)$, находящаяся в правой полуплоскости ($x \ge 0$), оставляется без изменений, а часть в левой полуплоскости ($x < 0$) заменяется симметричным отражением правой части относительно оси Oy.
3. Строится график функции $y = |f(|x|)|$. Для этого часть графика $y=f(|x|)$, находящаяся ниже оси Ox ($y < 0$), симметрично отражается относительно оси Ox, а остальная часть графика остается без изменений.

Построение графика будем выполнять в несколько шагов.

Шаг 1: Построение графика функции $y = x - 3$.

Это прямая линия. Найдем две точки для ее построения: при $x=0$, $y=-3$; при $x=3$, $y=0$. Точки: $(0, -3)$ и $(3, 0)$.

Шаг 2: Построение графика функции $y = |x| - 3$.

Это функция вида $y = f(|x|)$, где $f(x)=x-3$. Часть графика $y=x-3$ для $x \ge 0$ (луч, выходящий из точки $(0,-3)$ и проходящий через $(3,0)$) оставляем без изменений. Затем отражаем эту часть симметрично относительно оси Oy. Получим график, состоящий из двух лучей, исходящих из точки $(0, -3)$ и проходящих через точки $(-3, 0)$ и $(3, 0)$. Это "галочка", вершина которой находится в точке $(0, -3)$.

Шаг 3: Построение графика функции $y = ||x| - 3|$.

Это функция вида $y = |g(x)|$, где $g(x)=|x|-3$. Часть графика $y = |x| - 3$, которая находится над осью Ox или на ней (при $|x| \ge 3$), остается без изменений. Часть графика, которая находится под осью Ox (при $|x| < 3$, это отрезок, соединяющий точки $(-3,0)$ и $(3,0)$ с вершиной в $(0,-3)$), отражается симметрично относительно оси Ox. Вершина $(0, -3)$ переходит в точку $(0, 3)$.

Ответ: График имеет форму буквы "W". Он состоит из луча $y=-x-3$ для $x \le -3$, отрезка $y=x+3$ для $-3 \le x \le 0$, отрезка $y=-x+3$ для $0 \le x \le 3$ и луча $y=x-3$ для $x \ge 3$. Ключевые точки: $(-3, 0)$, $(0, 3)$, $(3, 0)$.

Заметим, что $x^2 = |x|^2$. Поэтому функцию можно записать как $y = ||x|^2 - 4|x||$. Это функция вида $y=|f(|x|)|$ для $f(x) = x^2 - 4x$.

Шаг 1: Построение графика функции $y = x^2 - 4x$.

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее вершину: $x_v = -(-4)/(2 \cdot 1) = 2$. $y_v = 2^2 - 4(2) = -4$. Вершина: $(2, -4)$. Корни уравнения $x^2 - 4x = 0$ — это $x=0$ и $x=4$. График пересекает ось Ox в точках $(0,0)$ и $(4,0)$.

Шаг 2: Построение графика функции $y = x^2 - 4|x|$.

Часть параболы $y = x^2 - 4x$ для $x \ge 0$ (часть, проходящая через $(0,0)$, с вершиной в $(2,-4)$ и пересекающая ось в $(4,0)$) оставляем без изменений. Затем отражаем эту часть симметрично относительно оси Oy. Получим симметричный график с двумя вершинами: $(2, -4)$ и $(-2, -4)$. График пересекает ось Ox в точках $(-4, 0)$, $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

Шаг 3: Построение графика функции $y = |x^2 - 4|x||$.

Части графика $y = x^2 - 4|x|$, которые находятся ниже оси Ox, отражаем симметрично относительно оси Ox. Это участки парабол между $x=-4$ и $x=0$, и между $x=0$ и $x=4$. Вершины $(2, -4)$ и $(-2, -4)$ переходят в точки $(2, 4)$ и $(-2, 4)$.

Ответ: График симметричен относительно оси Oy. Он состоит из двух параболических ветвей для $|x| \ge 4$ и двух параболических "холмов" для $|x| \le 4$. Ключевые точки: пересечение с осями в $(-4, 0)$, $(0, 0)$, $(4, 0)$; локальные максимумы в $(-2, 4)$ и $(2, 4)$; локальный минимум (точка излома) в $(0, 0)$.

Функция вида $y=|f(|x|)|$ для $f(x) = x^2 + 2x - 3$.

Шаг 1: Построение графика функции $y = x^2 + 2x - 3$.

Это парабола, ветви вверх. Вершина: $x_v = -2/(2 \cdot 1) = -1$. $y_v = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = -4$. Вершина: $(-1, -4)$. Корни уравнения $(x+3)(x-1)=0$ — это $x=-3$ и $x=1$. Пересечение с осью Oy: $(0, -3)$.

Шаг 2: Построение графика функции $y = x^2 + 2|x| - 3$.

Часть параболы для $x \ge 0$ (проходит через $(0, -3)$ и $(1,0)$) оставляем и отражаем симметрично относительно оси Oy. Полученный график симметричен, имеет минимум в точке $(0, -3)$ и пересекает ось Ox в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.

Шаг 3: Построение графика функции $y = |x^2 + 2|x| - 3|$.

Часть графика $y = x^2 + 2|x| - 3$, лежащую ниже оси Ox (участок между $x=-1$ и $x=1$ с минимумом в $(0,-3)$), отражаем симметрично относительно оси Ox. Минимальная точка $(0, -3)$ переходит в максимальную $(0, 3)$.

Ответ: График симметричен относительно оси Oy. Он состоит из двух параболических ветвей для $|x| \ge 1$ и параболического "холма" для $|x| \le 1$. Ключевые точки: пересечение с осью Ox в $(-1, 0)$ и $(1, 0)$ (это точки излома); локальный максимум в $(0, 3)$.

Заметим, что $|A - B| = |B - A|$, поэтому $y = |2|x| - x^2| = |x^2 - 2|x||$. Это функция вида $y=|f(|x|)|$ для $f(x) = x^2 - 2x$. Задача аналогична номеру 2.

Шаг 1: Построение графика функции $y = x^2 - 2x$.

Парабола, ветви вверх. Вершина: $x_v = -(-2)/(2 \cdot 1) = 1$. $y_v = 1^2 - 2(1) = -1$. Вершина: $(1, -1)$. Корни: $x(x-2)=0 \Rightarrow x=0, x=2$.

Шаг 2: Построение графика функции $y = x^2 - 2|x|$.

Часть параболы для $x \ge 0$ оставляем и отражаем симметрично относительно оси Oy. Получим график с двумя вершинами: $(1, -1)$ и $(-1, -1)$. Пересечение с осью Ox в точках $(-2, 0)$, $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

Шаг 3: Построение графика функции $y = |x^2 - 2|x||$.

Отражаем части графика, лежащие ниже оси Ox (участки между $x=-2$ и $x=0$, и между $x=0$ и $x=2$). Вершины $(1, -1)$ и $(-1, -1)$ переходят в точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.

Ответ: График, похожий на результат из пункта 2. Симметричен относительно оси Oy. Пересекает оси в точках $(-2, 0)$, $(0, 0)$, $(2, 0)$. Имеет локальные максимумы в $(-1, 1)$ и $(1, 1)$, и локальный минимум (точка излома) в $(0, 0)$.

Функция вида $y=|f(|x|)|$ для $f(x) = \frac{4}{x} - 2$. Область определения: $x \ne 0$.

Шаг 1: Построение графика функции $y = \frac{4}{x} - 2$.

Это гипербола $y=4/x$, смещенная на 2 единицы вниз. Вертикальная асимптота: $x=0$. Горизонтальная асимптота: $y=-2$. График пересекает ось Ox в точке, где $\frac{4}{x}-2=0 \Rightarrow x=2$. Точка $(2,0)$.

Шаг 2: Построение графика функции $y = \frac{4}{|x|} - 2$.

Часть графика для $x > 0$ оставляем и отражаем симметрично относительно оси Oy. График симметричен. Вертикальная асимптота $x=0$. Горизонтальная асимптота $y=-2$. Пересечение с осью Ox в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

Шаг 3: Построение графика функции $y = |\frac{4}{|x|} - 2|$.

Часть графика $y = \frac{4}{|x|} - 2$, лежащую ниже оси Ox, отражаем симметрично. Ниже оси Ox находится часть графика при $|x|>2$. Горизонтальная асимптота $y=-2$ для этой части графика отражается в $y=2$.

Ответ: График симметричен относительно оси Oy. Вертикальная асимптота $x=0$. Горизонтальная асимптота $y=2$. График состоит из четырех ветвей. Две ветви для $0<|x|<2$ начинаются от $+\infty$ у оси Oy и опускаются до точек $(\pm 2, 0)$. Две другие ветви для $|x|>2$ начинаются из точек $(\pm 2, 0)$ и приближаются к асимптоте $y=2$ снизу. В точках $(\pm 2, 0)$ график имеет изломы.

Функция вида $y=|f(|x|)|$ для $f(x) = \frac{4}{x - 2}$. Область определения: $|x|-2 \ne 0 \Rightarrow x \ne \pm 2$.

Шаг 1: Построение графика функции $y = \frac{4}{x - 2}$.

Это гипербола $y=4/x$, смещенная на 2 единицы вправо. Вертикальная асимптота: $x=2$. Горизонтальная асимптота: $y=0$. Пересечение с осью Oy: $(0, -2)$.

Шаг 2: Построение графика функции $y = \frac{4}{|x| - 2}$.

Часть графика для $x \ge 0$ (с асимптотой $x=2$ и проходящая через $(0,-2)$) оставляем и отражаем симметрично относительно оси Oy. Получим график с двумя вертикальными асимптотами $x=2$ и $x=-2$. Горизонтальная асимптота $y=0$. График имеет локальный максимум в точке $(0, -2)$.

Шаг 3: Построение графика функции $y = |\frac{4}{|x| - 2}|$.

Весь график неотрицателен. Части графика $y = \frac{4}{|x| - 2}$, лежащие ниже оси Ox, отражаем симметрично. Ниже оси находится центральная часть графика между асимптотами ($|x|<2$). Локальный максимум $(0, -2)$ переходит в локальный минимум $(0, 2)$.

Ответ: График симметричен относительно оси Oy. Вертикальные асимптоты: $x=-2$ и $x=2$. Горизонтальная асимптота: $y=0$. График состоит из трех ветвей. При $|x|>2$ ветви находятся в верхней полуплоскости, приближаясь к асимптотам $x=\pm2$ и $y=0$. При $|x|<2$ график представляет собой "U-образную" кривую с локальным минимумом в точке $(0, 2)$, ветви которой уходят на $+\infty$ вблизи асимптот $x=\pm2$.