Номер 3, страница 110 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Областью определения какой из функций является промежуток $(-\infty; 6)$?

А) $y = \sqrt{6 + x}$

Б) $y = \frac{1}{\sqrt{6 - x}}$

В) $y = \frac{1}{\sqrt{6 + x}}$

Г) $y = \sqrt{6 - x}$

Чтобы определить, у какой из функций область определения является промежуток $(-\infty; 6)$, необходимо найти область определения для каждой из предложенных функций.

А) $y = \sqrt{6 + x}$

Область определения функции с квадратным корнем задается условием, что выражение под корнем должно быть неотрицательным.

$6 + x \ge 0$

Решая неравенство, получаем:

$x \ge -6$

Таким образом, область определения этой функции — промежуток $[-6; +\infty)$, что не соответствует заданному промежутку.

Ответ: область определения $[-6; +\infty)$.

В) $y = \frac{1}{\sqrt{6 + x}}$

Для этой функции должны выполняться два условия: выражение под корнем должно быть неотрицательным ($6 + x \ge 0$), и знаменатель дроби не должен равняться нулю ($\sqrt{6 + x} \ne 0$). Объединяя эти условия, получаем, что подкоренное выражение должно быть строго положительным.

$6 + x > 0$

Решая неравенство, получаем:

$x > -6$

Таким образом, область определения — промежуток $(-6; +\infty)$, что не соответствует заданному промежутку.

Ответ: область определения $(-6; +\infty)$.

Б) $y = \frac{1}{\sqrt{6 - x}}$

Как и в предыдущем случае, выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным.

$6 - x > 0$

Решая неравенство, получаем:

$6 > x$, или $x < 6$

Таким образом, область определения этой функции — промежуток $(-\infty; 6)$. Это в точности совпадает с промежутком, указанным в условии задачи. Следовательно, это и есть искомая функция.

Ответ: область определения $(-\infty; 6)$.

Г) $y = \sqrt{6 - x}$

Выражение под корнем должно быть неотрицательным.

$6 - x \ge 0$

Решая неравенство, получаем:

$6 \ge x$, или $x \le 6$

Таким образом, область определения — промежуток $(-\infty; 6]$. Этот промежуток отличается от заданного $(-\infty; 6)$ тем, что включает в себя число 6, в то время как в заданном промежутке 6 не включено (на что указывает круглая скобка).

Ответ: область определения $(-\infty; 6]$.