Номер 3, страница 109 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Постройте график функции:

1) $y = |x - 3|$;

2) $y = |x^2 - 4x|$;

3) $y = |x^2 + 2x - 3|$;

4) $y = |2x - x^2|$;

5) $y = \left|\frac{4}{x} - 2\right|$;

6) $y = \left|\frac{4}{x - 2}\right|$.

1) $y = |x - 3|$

Для построения графика функции $y = |x - 3|$, сначала построим график базовой функции $y = x - 3$. Это прямая линия. Найдем две точки для ее построения:
- Если $x = 0$, то $y = 0 - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$.
- Если $y = 0$, то $x - 3 = 0$, откуда $x = 3$. Точка $(3, 0)$.
Теперь применим операцию взятия модуля. По определению модуля, $|a| = a$ при $a \ge 0$ и $|a| = -a$ при $a < 0$. Это означает, что часть графика функции $y = x - 3$, которая находится ниже оси Ox (где $y < 0$), должна быть симметрично отражена относительно этой оси, а часть, которая находится выше или на оси Ox (где $y \ge 0$), остается без изменений.
- При $x \ge 3$, выражение $x - 3 \ge 0$, поэтому $y = |x - 3| = x - 3$. График совпадает с прямой $y = x - 3$.
- При $x < 3$, выражение $x - 3 < 0$, поэтому $y = |x - 3| = -(x - 3) = -x + 3$. Эта часть графика является отражением луча прямой $y = x-3$ для $x < 3$ относительно оси Ox.
Точка "излома" графика находится там, где подмодульное выражение равно нулю: $x - 3 = 0$, то есть $x = 3$. Координаты этой точки $(3, 0)$.

Ответ: График представляет собой две прямые (два луча), выходящие из точки $(3, 0)$. Один луч идет вправо и вверх по уравнению $y = x - 3$ (для $x \ge 3$), второй — влево и вверх по уравнению $y = -x + 3$ (для $x < 3$). График напоминает букву "V" с вершиной в точке $(3, 0)$.

2) $y = |x^2 - 4x|$

Сначала построим график параболы $y = x^2 - 4x$. Это парабола, ветви которой направлены вверх.
1. Найдем нули функции (точки пересечения с осью Ox):
$x^2 - 4x = 0 \implies x(x - 4) = 0$. Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$. Точки пересечения: $(0, 0)$ и $(4, 0)$.
2. Найдем координаты вершины параболы:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
$y_в = (2)^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$. Вершина находится в точке $(2, -4)$.
Парабола $y = x^2 - 4x$ проходит через точки $(0, 0)$ и $(4, 0)$ и имеет вершину в $(2, -4)$.
Теперь применим модуль. Часть графика, расположенная ниже оси Ox, отражается симметрично вверх относительно этой оси.
- На интервалах $(-\infty, 0]$ и $[4, \infty)$ функция $x^2 - 4x \ge 0$, поэтому график $y = |x^2 - 4x|$ совпадает с графиком $y = x^2 - 4x$.
- На интервале $(0, 4)$ функция $x^2 - 4x < 0$. В этой области график отражается относительно оси Ox. Таким образом, мы строим график функции $y = -(x^2 - 4x) = -x^2 + 4x$. Вершина этой части графика будет в точке $(2, -(-4)) = (2, 4)$.

Ответ: График состоит из двух частей параболы $y = x^2 - 4x$ на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[4, \infty)$, и отраженной части этой параболы (графика функции $y = -x^2 + 4x$) на промежутке $(0, 4)$. В итоге получается фигура, состоящая из двух ветвей параболы, идущих вверх из точек $(0,0)$ и $(4,0)$, и арки параболы между этими точками с вершиной в $(2, 4)$.

3) $y = |x^2 + 2x - 3|$

Строим график параболы $y = x^2 + 2x - 3$. Ветви направлены вверх.
1. Нули функции:
$x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$, $x_2 = 1$. Точки пересечения с Ox: $(-3, 0)$ и $(1, 0)$.
2. Координаты вершины:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
$y_в = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$. Вершина: $(-1, -4)$.
3. Пересечение с осью Oy (при $x=0$): $y = -3$. Точка $(0, -3)$.
Парабола $y = x^2 + 2x - 3$ проходит через точки $(-3, 0)$ и $(1, 0)$, имеет вершину в $(-1, -4)$.
Применяем модуль: часть графика, где $y < 0$ (между корнями $x=-3$ и $x=1$), отражается относительно оси Ox.
- На интервалах $(-\infty, -3]$ и $[1, \infty)$ функция $x^2 + 2x - 3 \ge 0$, график $y = |x^2 + 2x - 3|$ совпадает с $y = x^2 + 2x - 3$.
- На интервале $(-3, 1)$ функция $x^2 + 2x - 3 < 0$, график отражается. Мы строим график $y = -(x^2 + 2x - 3) = -x^2 - 2x + 3$. Вершина этой части графика будет в точке $(-1, -(-4)) = (-1, 4)$, а точка пересечения с Oy будет $(0, 3)$.

Ответ: График состоит из двух ветвей параболы $y=x^2 + 2x - 3$, идущих вверх из точек $(-3,0)$ и $(1,0)$, и арки параболы между этими точками с вершиной в $(-1, 4)$.

4) $y = |2x - x^2|$

Заметим, что $|2x - x^2| = |-(x^2 - 2x)| = |x^2 - 2x|$.
Сначала построим параболу $y = 2x - x^2$. Ветви направлены вниз.
1. Нули функции:
$2x - x^2 = 0 \implies x(2 - x) = 0$. Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$. Точки пересечения с Ox: $(0, 0)$ и $(2, 0)$.
2. Координаты вершины:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.
$y_в = 2(1) - (1)^2 = 2 - 1 = 1$. Вершина: $(1, 1)$.
Парабола $y = 2x - x^2$ имеет вершину в $(1, 1)$ и пересекает ось Ox в точках $(0,0)$ и $(2,0)$.
Применяем модуль. Часть графика, где $y < 0$, отражается относительно оси Ox.
- На интервале $(0, 2)$ функция $2x - x^2 > 0$, поэтому график $y = |2x - x^2|$ совпадает с $y = 2x - x^2$. Эта часть графика уже находится выше оси Ox.
- На интервалах $(-\infty, 0)$ и $(2, \infty)$ функция $2x - x^2 < 0$. В этих областях график отражается относительно оси Ox. Мы строим график $y = -(2x - x^2) = x^2 - 2x$.

Ответ: График имеет форму, похожую на букву "W". Он состоит из арки параболы $y = 2x - x^2$ на отрезке $[0, 2]$ с вершиной в $(1, 1)$, и двух ветвей параболы $y = x^2 - 2x$ на промежутках $(-\infty, 0)$ и $(2, \infty)$.

5) $y = \left|\frac{4}{x} - 2\right|$

Сначала построим график функции $y = \frac{4}{x} - 2$. Это гипербола $y = \frac{4}{x}$, смещенная на 2 единицы вниз.
1. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x = 0$ (знаменатель не может быть равен нулю).
- Горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$, $\frac{4}{x} \to 0$, поэтому $y \to -2$. Асимптота $y = -2$.
2. Точка пересечения с осью Ox:
$\frac{4}{x} - 2 = 0 \implies \frac{4}{x} = 2 \implies x = 2$. Точка $(2, 0)$.
3. Поведение графика $y = \frac{4}{x} - 2$:
- При $x > 0$, ветвь гиперболы идет из $+\infty$ (при $x \to 0+$), пересекает ось Ox в точке $(2, 0)$ и приближается к асимптоте $y = -2$ снизу. - При $x < 0$, ветвь гиперболы приближается к асимптоте $y = -2$ сверху (при $x \to -\infty$) и уходит в $-\infty$ (при $x \to 0-$).
Теперь применяем модуль. Части графика ниже оси Ox отражаются вверх.
- Часть графика на интервале $(0, 2]$ уже находится выше или на оси Ox, она остается без изменений.
- Части графика на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(2, \infty)$ находятся ниже оси Ox, их нужно отразить. Горизонтальная асимптота $y = -2$ для этих частей также отражается и становится $y = 2$.

Ответ: График имеет вертикальную асимптоту $x = 0$ и горизонтальную асимптоту $y = 2$.
- При $x \to 0+$ и $x \to 0-$, $y \to +\infty$.
- На интервале $(0, \infty)$ график сначала спускается из $+\infty$ до точки $(2, 0)$, а затем снова поднимается, приближаясь к асимптоте $y=2$ снизу.
- На интервале $(-\infty, 0)$ график спускается от асимптоты $y=2$ (при $x \to -\infty$) и уходит вверх к $+\infty$ при приближении к $x=0-$.
В точке $(2, 0)$ график имеет "излом".

6) $y = \left|\frac{4}{x - 2}\right|$

Поскольку числитель $4$ всегда положителен, то $\left|\frac{4}{x - 2}\right| = \frac{|4|}{|x - 2|} = \frac{4}{|x - 2|}$.
Построим график, исходя из преобразований графика $y = \frac{4}{x-2}$.
1. Строим график $y = \frac{4}{x - 2}$. Это гипербола $y = \frac{4}{x}$, смещенная на 2 единицы вправо.
- Вертикальная асимптота: $x - 2 = 0 \implies x = 2$.
- Горизонтальная асимптота: $y = 0$ (ось Ox).
2. Поведение графика:
- При $x > 2$, выражение $x - 2 > 0$, поэтому $y > 0$. Вся эта ветвь гиперболы лежит выше оси Ox.
- При $x < 2$, выражение $x - 2 < 0$, поэтому $y < 0$. Вся эта ветвь гиперболы лежит ниже оси Ox.
- Точка пересечения с осью Oy (при $x=0$): $y = \frac{4}{0 - 2} = -2$. Точка $(0, -2)$.
Теперь применяем модуль. Часть графика ниже оси Ox (где $x < 2$) отражается вверх.
- Ветвь при $x > 2$ остается на месте.
- Ветвь при $x < 2$ отражается относительно оси Ox. Точка $(0, -2)$ переходит в $(0, 2)$.

Ответ: График состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в верхней полуплоскости.
- Вертикальная асимптота: $x = 2$.
- Горизонтальная асимптота: $y = 0$ (ось Ox).
- Обе ветви приближаются к оси Ox при $x \to \pm\infty$ и уходят в $+\infty$ при $x \to 2$ с обеих сторон. График симметричен относительно прямой $x = 2$. Проходит через точки, например, $(0, 2)$ и $(4, 2)$.