Номер 5, страница 109 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

5. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{4 - |x|};$

2) $y = 3 - \sqrt{4 - |x|};$

3) $y = |3 - \sqrt{4 - |x|}|;$

4) $y = \sqrt{|4 - x|};$

5) $y = 3 - \sqrt{|4 - x|};$

6) $y = |3 - \sqrt{|4 - x|}|.$

1) $y = \sqrt{4 - |x|}$

Для построения графика этой функции выполним последовательные преобразования, начав с базовой функции.

1. Строим график функции $y = \sqrt{x}$. Это верхняя ветвь параболы, выходящая из начала координат вправо.
2. Строим график функции $y = \sqrt{4-x}$. Для этого график $y = \sqrt{x}$ нужно отразить относительно оси OY (получим $y = \sqrt{-x}$) и затем сдвинуть на 4 единицы вправо. Получим ветвь параболы, выходящую из точки $(4, 0)$ и направленную влево.
3. Теперь строим график исходной функции $y = \sqrt{4 - |x|}$. Это преобразование вида $f(x) \to f(|x|)$. Для этого нужно:
   • Взять часть графика $y = \sqrt{4-x}$, расположенную при $x \ge 0$. Это дуга, соединяющая точки $(0, 2)$ и $(4, 0)$.
   • Симметрично отразить эту часть относительно оси OY. Получим вторую дугу, соединяющую точки $(0, 2)$ и $(-4, 0)$.

Найдем область определения: выражение под корнем должно быть неотрицательным.
$4 - |x| \ge 0 \Rightarrow |x| \le 4 \Rightarrow -4 \le x \le 4$.
Таким образом, область определения $D(y) = [-4; 4]$.

Найдем область значений: так как корень арифметический, $y \ge 0$. Максимальное значение достигается при $|x|=0$, то есть $x=0$: $y = \sqrt{4-0}=2$. Минимальное значение при $|x|=4$, то есть $x = \pm 4$: $y = \sqrt{4-4}=0$.
Таким образом, область значений $E(y) = [0; 2]$.

Ключевые точки графика:

• Пересечение с осью OY (вершина): $(0, 2)$.
• Пересечения с осью OX (концы дуги): $(-4, 0)$ и $(4, 0)$.

Ответ: График функции представляет собой симметричную относительно оси OY дугу, напоминающую верхнюю половину эллипса, с вершиной в точке $(0, 2)$ и концами в точках $(-4, 0)$ и $(4, 0)$.

2) $y = 3 - \sqrt{4 - |x|}$

График этой функции можно получить преобразованиями графика функции $y_1 = \sqrt{4 - |x|}$, построенного в предыдущем пункте.

1. Сначала построим график $y_2 = -\sqrt{4 - |x|}$. Он получается путем симметричного отражения графика $y_1$ относительно оси OX. Вершина из $(0, 2)$ переместится в $(0, -2)$, а точки $(-4, 0)$ и $(4, 0)$ останутся на месте.
2. Далее, чтобы получить искомый график $y = 3 - \sqrt{4 - |x|} = 3 + (-\sqrt{4 - |x|})$, нужно сдвинуть график $y_2$ на 3 единицы вверх вдоль оси OY.

При этом преобразовании ключевые точки переместятся следующим образом:

• Вершина из $(0, -2)$ перейдет в точку $(0, -2+3) = (0, 1)$. Это будет точка минимума.
• Концы дуги из $(\pm 4, 0)$ перейдут в точки $(\pm 4, 0+3) = (\pm 4, 3)$.

Область определения функции не меняется: $D(y) = [-4; 4]$.
Область значений: минимальное значение $y=1$ (при $x=0$), максимальное $y=3$ (при $x=\pm 4$). Таким образом, $E(y) = [1; 3]$.

Ответ: График функции — это симметричная относительно оси OY дуга, "перевернутая" вниз, с точкой минимума в $(0, 1)$ и концами в точках $(-4, 3)$ и $(4, 3)$.

3) $y = |3 - \sqrt{4 - |x|}|$

Для построения этого графика воспользуемся графиком функции $y_1 = 3 - \sqrt{4 - |x|}$ из пункта 2.

Преобразование $y = |f(x)|$ означает, что часть графика функции $f(x)$, которая лежит ниже оси OX, должна быть отражена симметрично относительно этой оси, а часть, которая лежит выше или на оси OX, остается без изменений.

Как мы выяснили в пункте 2, область значений функции $y_1 = 3 - \sqrt{4 - |x|}$ есть отрезок $[1; 3]$. Поскольку все значения этой функции положительны, ее график целиком лежит выше оси OX.

Следовательно, применение модуля не изменит график функции.

Ответ: График функции $y = |3 - \sqrt{4 - |x|}|$ полностью совпадает с графиком функции $y = 3 - \sqrt{4 - |x|}$ из пункта 2.

4) $y = \sqrt{|4 - x|}$

Для построения графика раскроем модуль.

1. Если $4-x \ge 0$, то есть $x \le 4$, функция принимает вид $y = \sqrt{4-x}$. График этой функции — ветвь параболы, выходящая из точки $(4, 0)$ и идущая влево.
2. Если $4-x < 0$, то есть $x > 4$, функция принимает вид $y = \sqrt{-(4-x)} = \sqrt{x-4}$. График этой функции — ветвь параболы, выходящая из точки $(4, 0)$ и идущая вправо (это график $y=\sqrt{x}$, сдвинутый на 4 единицы вправо).

Объединяя эти две части, получаем итоговый график.
Область определения: $|4-x| \ge 0$ для любых $x$. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений: $y \ge 0$. Минимальное значение $y=0$ при $x=4$. $E(y) = [0; +\infty)$.

Ключевые точки:

• Точка излома (вершина): $(4, 0)$.
• Пересечение с осью OY (при $x=0$): $y=\sqrt{|4-0|}=2$. Точка $(0, 2)$.

Ответ: График состоит из двух ветвей параболы, выходящих из общей точки $(4, 0)$ и направленных вверх. График симметричен относительно вертикальной прямой $x=4$.

5) $y = 3 - \sqrt{|4 - x|}$

График этой функции можно получить преобразованиями графика $y_1 = \sqrt{|4 - x|}$ из пункта 4.

1. Строим график $y_2 = -\sqrt{|4 - x|}$. Он получается отражением графика $y_1$ относительно оси OX. Вершина останется в точке $(4, 0)$, а ветви будут направлены вниз.
2. Чтобы получить искомый график $y = 3 - \sqrt{|4 - x|}$, сдвигаем график $y_2$ на 3 единицы вверх по оси OY.

При этом вершина из $(4, 0)$ переместится в точку $(4, 3)$, которая станет точкой максимума.
Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений: Максимальное значение $y=3$ при $x=4$. Ветви уходят в минус бесконечность. $E(y) = (-\infty; 3]$.

Найдем ключевые точки:

• Вершина (точка максимума): $(4, 3)$.
• Пересечение с OY (при $x=0$): $y=3-\sqrt{|4-0|} = 3-2=1$. Точка $(0, 1)$.
• Пересечения с OX (при $y=0$): $3 - \sqrt{|4-x|} = 0 \Rightarrow \sqrt{|4-x|} = 3 \Rightarrow |4-x|=9$. Отсюда $4-x=9$ (т.е. $x=-5$) или $4-x=-9$ (т.е. $x=13$). Точки $(-5, 0)$ и $(13, 0)$.

Ответ: График представляет собой две ветви параболы, направленные вниз из общей вершины в точке $(4, 3)$. График симметричен относительно прямой $x=4$ и пересекает оси в точках $(0, 1)$, $(-5, 0)$ и $(13, 0)$.

6) $y = |3 - \sqrt{|4 - x|}|$

Для построения этого графика воспользуемся графиком функции $y_1 = 3 - \sqrt{|4 - x|}$ из пункта 5.

Применяем преобразование $y=|f(x)|$. Часть графика $y_1$, которая находится ниже оси OX, отражается симметрично вверх, а остальная часть не меняется.

Из пункта 5 мы знаем, что график $y_1$ находится:

• Выше или на оси OX при $x \in [-5, 13]$.
• Ниже оси OX при $x \in (-\infty, -5) \cup (13, \infty)$.

Следовательно, для построения итогового графика нужно:

1. Оставить без изменений часть графика $y_1$ на отрезке $[-5, 13]$. Это "холм" с вершиной в $(4, 3)$.
2. Части графика при $x < -5$ и $x > 13$, которые уходили вниз, отразить симметрично относительно оси OX. Они превратятся в ветви, выходящие из точек $(-5, 0)$ и $(13, 0)$ и уходящие вверх.

Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.

Ответ: График функции имеет форму, похожую на букву "W". Он симметричен относительно прямой $x=4$. График имеет локальный максимум (гладкую вершину) в точке $(4, 3)$ и два локальных минимума (точки излома) в точках $(-5, 0)$ и $(13, 0)$, где он касается оси OX.