Номер 2, страница 108 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

2. Используя график функции $y = x + 2$, постройте график функции $y = |x+2|$.

Для того чтобы построить график функции $y = |x+2|$, используя график функции $y = x+2$, выполним последовательно два шага: сначала построим исходный график, а затем применим к нему преобразование модуля.

1. Построение графика функции $y = x+2$.

Данная функция является линейной, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно определить координаты двух точек.

Найдем точки пересечения с осями координат:

• Если $x = 0$, то $y = 0 + 2 = 2$. Получаем точку $(0, 2)$.
• Если $y = 0$, то $0 = x + 2$, откуда $x = -2$. Получаем точку $(-2, 0)$.

Проведя прямую через эти две точки, мы получим график функции $y = x+2$.

2. Построение графика функции $y = |x+2|$.

По определению модуля, значение $y$ для функции $y = |x+2|$ не может быть отрицательным. Построение графика функции вида $y = |f(x)|$ из графика $y = f(x)$ осуществляется по следующему правилу:

1. Та часть графика функции $y = f(x)$, которая расположена в верхней полуплоскости (то есть выше или на оси OX), остается без изменений.
2. Та часть графика, которая расположена в нижней полуплоскости (ниже оси OX), симметрично отражается относительно оси OX.

Применим это правило к графику $y = x+2$:

• Прямая $y = x+2$ находится выше или на оси OX при $x+2 \ge 0$, то есть при $x \ge -2$. Этот участок графика — луч, начинающийся в точке $(-2, 0)$ и идущий вправо-вверх — мы оставляем без изменений.
• Прямая $y = x+2$ находится ниже оси OX при $x+2 < 0$, то есть при $x < -2$. Этот участок графика — луч, идущий из точки $(-2, 0)$ влево-вниз — мы должны симметрично отразить относительно оси OX. После отражения он станет лучом, идущим из точки $(-2, 0)$ влево-вверх.

Таким образом, график функции $y = |x+2|$ представляет собой "галочку" (или V-образную кривую), состоящую из двух лучей, выходящих из точки $(-2, 0)$.

Ответ: График функции $y=|x+2|$ получается из графика прямой $y=x+2$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс той части прямой, которая лежит ниже этой оси. Часть прямой, лежащая на и выше оси абсцисс, остается без изменений. В результате получается график, состоящий из двух лучей, с вершиной в точке $(-2, 0)$.