Номер 398, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

398. На доске записано число 1001. Двое играют в такую игру. За один ход нужно стереть записанное на доске число, а вместо него записать разность этого числа и любого его делителя. Ходы игроки делают поочерёдно. Проигрывает тот игрок, после хода которого на доске будет записано число 0. Кто из игроков может обеспечить себе выигрыш?

Это задача на теорию игр, в которой выигрышная стратегия определяется на основе анализа позиций. Позицией в игре является число, записанное на доске. Определим выигрышные и проигрышные позиции.

Позиция называется проигрышной, если любой ход из нее ведет в выигрышную позицию для соперника. Позиция называется выигрышной, если из нее существует хотя бы один ход, ведущий в проигрышную позицию для соперника.

По условию, проигрывает тот игрок, после хода которого на доске оказывается число 0. Это означает, что ход, приводящий к 0, является проигрышным. Такой ход $N - d = 0$ возможен, только если выбранный делитель $d$ равен самому числу $N$. Рассмотрим число 1. Его единственный натуральный делитель — это 1. Поэтому игрок, получивший на своем ходу число 1, вынужден сделать ход $1 - 1 = 0$ и, следовательно, проигрывает. Таким образом, число 1 — это проигрышная позиция.

Проанализируем игру с точки зрения четности чисел:

• Если на доске записано нечетное число $N$, то любой его делитель $d$ также будет нечетным. Разность двух нечетных чисел ($N - d$) всегда является четным числом. Таким образом, с нечетного числа можно перейти только на четное.
• Если на доске записано четное число $N$, то 1 является его делителем. Игрок может выбрать делитель $d=1$. В этом случае новое число будет $N - 1$, которое является нечетным числом. Таким образом, с четного числа всегда можно перейти на нечетное.

Основываясь на этом, мы можем классифицировать все позиции:

• Любое четное число является выигрышной позицией. Получив четное число $N$, игрок может вычесть 1 и оставить противнику нечетное число $N-1$.
• Любое нечетное число является проигрышной позицией. Получив нечетное число $N$, игрок вынужден оставить противнику четное число ($N-d$), которое является выигрышной позицией для соперника.

Теперь применим этот вывод к нашей игре:

Игра начинается с числа 1001, которое является нечетным. Это означает, что первый игрок находится в проигрышной позиции с самого начала.

Выигрышная стратегия для второго игрока выглядит так:

1. Первый игрок начинает с нечетного числа 1001. Любой его ход приведет к четному числу.
2. Второй игрок получает четное число. Он всегда выбирает делитель $d=1$ и вычитает его. В результате на доске оказывается нечетное число.
3. Первый игрок снова получает нечетное число, и любой его ход снова приведет к четному числу.
4. Второй игрок повторяет свою стратегию, получая четное число и оставляя после своего хода нечетное.

Поскольку числа на доске с каждым ходом уменьшаются, игра обязательно закончится. Она закончится, когда один из игроков получит на своем ходу число 1. Так как первый игрок всегда получает нечетные числа (начиная со своего второго хода), а второй — четные, именно первый игрок в итоге получит число 1. Получив 1, он будет вынужден сделать ход $1 - 1 = 0$ и проиграет.

Следовательно, второй игрок, придерживаясь описанной стратегии, гарантирует себе победу.

Ответ: Выигрыш может обеспечить себе второй игрок.