Номер 397, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

397. Через одну из двух труб бак можно наполнить водой на 10 мин быстрее, чем через другую. За какое время можно заполнить этот бак через каждую из труб, если при одновременной их работе в течение 8 мин будет заполнено $\frac{2}{3}$ бака?

Пусть время, за которое первая (более быстрая) труба может наполнить бак, равно $x$ минут. Тогда, согласно условию, вторая труба наполняет бак на 10 минут дольше, то есть за $x + 10$ минут.

Производительность (часть бака, наполняемая за минуту) первой трубы равна $\frac{1}{x}$, а второй — $\frac{1}{x+10}$. Их совместная производительность составляет $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+10}$.

За 8 минут совместной работы они заполнили $\frac{2}{3}$ бака. Составим уравнение, умножив совместную производительность на время и приравняв к выполненной работе:

$8 \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+10}\right) = \frac{2}{3}$

Решим это уравнение. Разделим обе части на 8:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+10} = \frac{2}{3 \cdot 8} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{x+10+x}{x(x+10)} = \frac{1}{12}$

$\frac{2x+10}{x^2+10x} = \frac{1}{12}$

По свойству пропорции (перекрестное умножение) получаем:

$12(2x+10) = x^2+10x$

$24x + 120 = x^2 + 10x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 - 14x - 120 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 196 + 480 = 676$

Поскольку $D > 0$, находим корни:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{14 \pm 26}{2}$

Первый корень:

$x_1 = \frac{14+26}{2} = \frac{40}{2} = 20$

Второй корень:

$x_2 = \frac{14-26}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Корень $x_2 = -6$ не имеет физического смысла, так как время не может быть отрицательным. Поэтому время наполнения для первой трубы составляет $x = 20$ минут.

Время для второй трубы: $x + 10 = 20 + 10 = 30$ минут.

Ответ: первая труба может наполнить бак за 20 минут, а вторая — за 30 минут.