Страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

394. Выполните действия:

1) $\frac{b+3}{b-3} + \frac{b-2}{b+2}$;

2) $\frac{p+4}{p-1} - \frac{p+20}{p+5}$;

3) $\frac{x}{2x+3} - \frac{x+1}{2x-3}$.

1) Чтобы сложить дроби $\frac{b+3}{b-3}$ и $\frac{b-2}{b+2}$, необходимо привести их к общему знаменателю. Общим знаменателем является произведение их знаменателей: $(b-3)(b+2)$.
Приводим дроби к общему знаменателю и складываем их числители:
$\frac{b+3}{b-3} + \frac{b-2}{b+2} = \frac{(b+3)(b+2)}{(b-3)(b+2)} + \frac{(b-2)(b-3)}{(b-3)(b+2)} = \frac{(b+3)(b+2) + (b-2)(b-3)}{(b-3)(b+2)}$.
Раскроем скобки в числителе. Для этого перемножим двучлены:
$(b+3)(b+2) = b^2 + 2b + 3b + 6 = b^2 + 5b + 6$
$(b-2)(b-3) = b^2 - 3b - 2b + 6 = b^2 - 5b + 6$
Теперь сложим полученные выражения в числителе:
$(b^2 + 5b + 6) + (b^2 - 5b + 6) = b^2 + b^2 + 5b - 5b + 6 + 6 = 2b^2 + 12$.
Раскроем скобки в знаменателе для получения итогового вида ответа:
$(b-3)(b+2) = b^2 + 2b - 3b - 6 = b^2 - b - 6$.
В результате получаем дробь: $\frac{2b^2 + 12}{b^2 - b - 6}$.

Ответ: $\frac{2b^2 + 12}{b^2 - b - 6}$

2) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{p+4}{p-1}$ и $\frac{p+20}{p+5}$, приведем их к общему знаменателю, который равен произведению их знаменателей: $(p-1)(p+5)$.
Приводим дроби к общему знаменателю и вычитаем их числители:
$\frac{p+4}{p-1} - \frac{p+20}{p+5} = \frac{(p+4)(p+5)}{(p-1)(p+5)} - \frac{(p+20)(p-1)}{(p-1)(p+5)} = \frac{(p+4)(p+5) - (p+20)(p-1)}{(p-1)(p+5)}$.
Раскроем скобки в числителе:
$(p+4)(p+5) = p^2 + 5p + 4p + 20 = p^2 + 9p + 20$
$(p+20)(p-1) = p^2 - p + 20p - 20 = p^2 + 19p - 20$
Теперь выполним вычитание в числителе (важно не забыть поменять знаки у второго выражения):
$(p^2 + 9p + 20) - (p^2 + 19p - 20) = p^2 + 9p + 20 - p^2 - 19p + 20 = -10p + 40$.
Раскроем скобки в знаменателе:
$(p-1)(p+5) = p^2 + 5p - p - 5 = p^2 + 4p - 5$.
В результате получаем дробь: $\frac{-10p + 40}{p^2 + 4p - 5}$.

Ответ: $\frac{-10p + 40}{p^2 + 4p - 5}$

3) Для вычитания дробей $\frac{x}{2x+3}$ и $\frac{x+1}{2x-3}$ найдем общий знаменатель. Он равен произведению знаменателей $(2x+3)(2x-3)$, что по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ равно $(2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9$.
Приводим дроби к общему знаменателю $4x^2 - 9$:
$\frac{x}{2x+3} - \frac{x+1}{2x-3} = \frac{x(2x-3)}{4x^2-9} - \frac{(x+1)(2x+3)}{4x^2-9} = \frac{x(2x-3) - (x+1)(2x+3)}{4x^2-9}$.
Раскроем скобки в числителе:
$x(2x-3) = 2x^2 - 3x$
$(x+1)(2x+3) = 2x^2 + 3x + 2x + 3 = 2x^2 + 5x + 3$
Выполним вычитание в числителе:
$(2x^2 - 3x) - (2x^2 + 5x + 3) = 2x^2 - 3x - 2x^2 - 5x - 3 = -8x - 3$.
Получаем итоговую дробь: $\frac{-8x - 3}{4x^2 - 9}$.

Ответ: $\frac{-8x-3}{4x^2-9}$

395. Упростите выражение:

1) $(2\sqrt{a} + 3\sqrt{b})(4a - 6\sqrt{ab} + 9b) - 9\sqrt{9b^3};$

2) $(3\sqrt{2} - 2\sqrt{28} + 4\sqrt{63}) \cdot \sqrt{7} - \sqrt{126};$

3) $(2 - \sqrt{3} + \sqrt{6})(2 + \sqrt{3} - \sqrt{6}).$

1) $(2\sqrt{a} + 3\sqrt{b})(4a - 6\sqrt{ab} + 9b) - 9\sqrt{9b^3}$

Заметим, что первая часть выражения $(2\sqrt{a} + 3\sqrt{b})(4a - 6\sqrt{ab} + 9b)$ представляет собой произведение, которое соответствует формуле суммы кубов: $(x+y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$.

В нашем случае, пусть $x = 2\sqrt{a}$ и $y = 3\sqrt{b}$. Тогда:

$x^2 = (2\sqrt{a})^2 = 4a$

$y^2 = (3\sqrt{b})^2 = 9b$

$xy = 2\sqrt{a} \cdot 3\sqrt{b} = 6\sqrt{ab}$

Таким образом, выражение $(2\sqrt{a} + 3\sqrt{b})(4a - 6\sqrt{ab} + 9b)$ можно свернуть в сумму кубов:

$(2\sqrt{a})^3 + (3\sqrt{b})^3 = 8(\sqrt{a})^3 + 27(\sqrt{b})^3 = 8a\sqrt{a} + 27b\sqrt{b}$.

Теперь упростим вторую часть исходного выражения: $-9\sqrt{9b^3}$.

$\sqrt{9b^3} = \sqrt{9 \cdot b^2 \cdot b} = 3b\sqrt{b}$ (при условии $b \ge 0$).

Тогда $-9\sqrt{9b^3} = -9 \cdot 3b\sqrt{b} = -27b\sqrt{b}$.

Теперь объединим обе упрощенные части:

$(8a\sqrt{a} + 27b\sqrt{b}) - 27b\sqrt{b} = 8a\sqrt{a}$.

Ответ: $8a\sqrt{a}$.

2) $(3\sqrt{2} - 2\sqrt{28} + 4\sqrt{63}) \cdot \sqrt{7} - \sqrt{126}$

Сначала упростим корни, вынеся множители из-под знака корня:

$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$

$\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$

$\sqrt{126} = \sqrt{9 \cdot 14} = 3\sqrt{14}$

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$(3\sqrt{2} - 2(2\sqrt{7}) + 4(3\sqrt{7})) \cdot \sqrt{7} - 3\sqrt{14}$.

Упростим выражение в скобках:

$3\sqrt{2} - 4\sqrt{7} + 12\sqrt{7} = 3\sqrt{2} + (12-4)\sqrt{7} = 3\sqrt{2} + 8\sqrt{7}$.

Теперь умножим результат на $\sqrt{7}$:

$(3\sqrt{2} + 8\sqrt{7}) \cdot \sqrt{7} = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{7} + 8\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = 3\sqrt{14} + 8 \cdot 7 = 3\sqrt{14} + 56$.

И, наконец, вычтем последний член:

$(3\sqrt{14} + 56) - 3\sqrt{14} = 56$.

Ответ: $56$.

3) $(2 - \sqrt{3} + \sqrt{6})(2 + \sqrt{3} - \sqrt{6})$

Сгруппируем слагаемые так, чтобы применить формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$(2 - (\sqrt{3} - \sqrt{6}))(2 + (\sqrt{3} - \sqrt{6}))$.

Здесь $a = 2$ и $b = \sqrt{3} - \sqrt{6}$. Применим формулу:

$a^2 - b^2 = 2^2 - (\sqrt{3} - \sqrt{6})^2$.

Раскроем квадрат разности $(\sqrt{3} - \sqrt{6})^2$ по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 3 - 2\sqrt{18} + 6 = 9 - 2\sqrt{18}$.

Упростим корень $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$.

Тогда $(\sqrt{3} - \sqrt{6})^2 = 9 - 2(3\sqrt{2}) = 9 - 6\sqrt{2}$.

Подставим это обратно в наше выражение:

$4 - (9 - 6\sqrt{2}) = 4 - 9 + 6\sqrt{2} = -5 + 6\sqrt{2}$.

Ответ: $-5 + 6\sqrt{2}$.

396. Моторная лодка отправилась по реке от одной пристани к другой и вернулась обратно через 2,5 ч, потратив на стоянку 25 мин. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки равна 20 км/ч, а расстояние между пристанями – 20 км.

Для решения задачи составим уравнение, но сначала подготовим данные.

1. Найдем общее время, которое лодка находилась в движении. Известно, что вся поездка заняла 2,5 часа, а стоянка длилась 25 минут. Переведем минуты в часы для согласованности единиц измерения.

Время стоянки: $T_{ст} = 25 \text{ мин} = \frac{25}{60} \text{ ч} = \frac{5}{12} \text{ ч}$.

Теперь вычтем время стоянки из общего времени, чтобы найти чистое время движения лодки:

$T_{движ} = T_{общ} - T_{ст} = 2,5 \text{ ч} - \frac{5}{12} \text{ ч} = \frac{5}{2} - \frac{5}{12} = \frac{30}{12} - \frac{5}{12} = \frac{25}{12} \text{ ч}$.

2. Введем переменную и выразим через нее скорости движения.
Пусть $x$ км/ч — это искомая скорость течения реки.
Собственная скорость лодки по условию равна $v_л = 20$ км/ч.
Расстояние между пристанями $S = 20$ км.

Когда лодка плывет по течению, ее скорость равна сумме собственной скорости и скорости течения:
$v_{по} = (20 + x)$ км/ч.

Когда лодка плывет против течения, ее скорость равна разности собственной скорости и скорости течения:
$v_{против} = (20 - x)$ км/ч.

3. Составим уравнение. Общее время движения $T_{движ}$ равно сумме времени движения по течению ($t_{по}$) и времени движения против течения ($t_{против}$).

Время вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$.
$t_{по} = \frac{20}{20 + x}$
$t_{против} = \frac{20}{20 - x}$

Основное уравнение:
$t_{по} + t_{против} = T_{движ}$
$\frac{20}{20 + x} + \frac{20}{20 - x} = \frac{25}{12}$

4. Решим полученное уравнение.

Вынесем общий множитель 20 в левой части:
$20 \left( \frac{1}{20 + x} + \frac{1}{20 - x} \right) = \frac{25}{12}$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $(20+x)(20-x) = 400 - x^2$:
$20 \left( \frac{20 - x + 20 + x}{400 - x^2} \right) = \frac{25}{12}$
$20 \left( \frac{40}{400 - x^2} \right) = \frac{25}{12}$
$\frac{800}{400 - x^2} = \frac{25}{12}$

Используем свойство пропорции (крест-накрест):
$800 \cdot 12 = 25 \cdot (400 - x^2)$
$9600 = 10000 - 25x^2$

Перенесем слагаемые, чтобы выделить $x^2$:
$25x^2 = 10000 - 9600$
$25x^2 = 400$
$x^2 = \frac{400}{25}$
$x^2 = 16$
$x = \pm\sqrt{16}$
$x_1 = 4$, $x_2 = -4$

Поскольку скорость течения реки — величина положительная, то нам подходит только корень $x=4$.

Ответ: 4 км/ч.

397. Через одну из двух труб бак можно наполнить водой на 10 мин быстрее, чем через другую. За какое время можно заполнить этот бак через каждую из труб, если при одновременной их работе в течение 8 мин будет заполнено $\frac{2}{3}$ бака?

Пусть время, за которое первая (более быстрая) труба может наполнить бак, равно $x$ минут. Тогда, согласно условию, вторая труба наполняет бак на 10 минут дольше, то есть за $x + 10$ минут.

Производительность (часть бака, наполняемая за минуту) первой трубы равна $\frac{1}{x}$, а второй — $\frac{1}{x+10}$. Их совместная производительность составляет $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+10}$.

За 8 минут совместной работы они заполнили $\frac{2}{3}$ бака. Составим уравнение, умножив совместную производительность на время и приравняв к выполненной работе:

$8 \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+10}\right) = \frac{2}{3}$

Решим это уравнение. Разделим обе части на 8:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+10} = \frac{2}{3 \cdot 8} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{x+10+x}{x(x+10)} = \frac{1}{12}$

$\frac{2x+10}{x^2+10x} = \frac{1}{12}$

По свойству пропорции (перекрестное умножение) получаем:

$12(2x+10) = x^2+10x$

$24x + 120 = x^2 + 10x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 - 14x - 120 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 196 + 480 = 676$

Поскольку $D > 0$, находим корни:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{14 \pm 26}{2}$

Первый корень:

$x_1 = \frac{14+26}{2} = \frac{40}{2} = 20$

Второй корень:

$x_2 = \frac{14-26}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Корень $x_2 = -6$ не имеет физического смысла, так как время не может быть отрицательным. Поэтому время наполнения для первой трубы составляет $x = 20$ минут.

Время для второй трубы: $x + 10 = 20 + 10 = 30$ минут.

Ответ: первая труба может наполнить бак за 20 минут, а вторая — за 30 минут.

398. На доске записано число 1001. Двое играют в такую игру. За один ход нужно стереть записанное на доске число, а вместо него записать разность этого числа и любого его делителя. Ходы игроки делают поочерёдно. Проигрывает тот игрок, после хода которого на доске будет записано число 0. Кто из игроков может обеспечить себе выигрыш?

Это задача на теорию игр, в которой выигрышная стратегия определяется на основе анализа позиций. Позицией в игре является число, записанное на доске. Определим выигрышные и проигрышные позиции.

Позиция называется проигрышной, если любой ход из нее ведет в выигрышную позицию для соперника. Позиция называется выигрышной, если из нее существует хотя бы один ход, ведущий в проигрышную позицию для соперника.

По условию, проигрывает тот игрок, после хода которого на доске оказывается число 0. Это означает, что ход, приводящий к 0, является проигрышным. Такой ход $N - d = 0$ возможен, только если выбранный делитель $d$ равен самому числу $N$. Рассмотрим число 1. Его единственный натуральный делитель — это 1. Поэтому игрок, получивший на своем ходу число 1, вынужден сделать ход $1 - 1 = 0$ и, следовательно, проигрывает. Таким образом, число 1 — это проигрышная позиция.

Проанализируем игру с точки зрения четности чисел:

• Если на доске записано нечетное число $N$, то любой его делитель $d$ также будет нечетным. Разность двух нечетных чисел ($N - d$) всегда является четным числом. Таким образом, с нечетного числа можно перейти только на четное.
• Если на доске записано четное число $N$, то 1 является его делителем. Игрок может выбрать делитель $d=1$. В этом случае новое число будет $N - 1$, которое является нечетным числом. Таким образом, с четного числа всегда можно перейти на нечетное.

Основываясь на этом, мы можем классифицировать все позиции:

• Любое четное число является выигрышной позицией. Получив четное число $N$, игрок может вычесть 1 и оставить противнику нечетное число $N-1$.
• Любое нечетное число является проигрышной позицией. Получив нечетное число $N$, игрок вынужден оставить противнику четное число ($N-d$), которое является выигрышной позицией для соперника.

Теперь применим этот вывод к нашей игре:

Игра начинается с числа 1001, которое является нечетным. Это означает, что первый игрок находится в проигрышной позиции с самого начала.

Выигрышная стратегия для второго игрока выглядит так:

1. Первый игрок начинает с нечетного числа 1001. Любой его ход приведет к четному числу.
2. Второй игрок получает четное число. Он всегда выбирает делитель $d=1$ и вычитает его. В результате на доске оказывается нечетное число.
3. Первый игрок снова получает нечетное число, и любой его ход снова приведет к четному числу.
4. Второй игрок повторяет свою стратегию, получая четное число и оставляя после своего хода нечетное.

Поскольку числа на доске с каждым ходом уменьшаются, игра обязательно закончится. Она закончится, когда один из игроков получит на своем ходу число 1. Так как первый игрок всегда получает нечетные числа (начиная со своего второго хода), а второй — четные, именно первый игрок в итоге получит число 1. Получив 1, он будет вынужден сделать ход $1 - 1 = 0$ и проиграет.

Следовательно, второй игрок, придерживаясь описанной стратегии, гарантирует себе победу.

Ответ: Выигрыш может обеспечить себе второй игрок.