Страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Используя график функции $y = f(x)$, изображённый на рисунке 69, постройте график функции $y = f(-x)$.

Рис. 69

Для построения графика функции $y = f(-x)$ необходимо выполнить симметричное отражение (зеркальное отображение) графика функции $y = f(x)$ относительно оси ординат (оси OY). Это означает, что для каждой точки $(x_0, y_0)$ на исходном графике, на новом графике будет соответствующая точка $(-x_0, y_0)$.

Исходный график — это парабола с ветвями, направленными вверх.
Выделим несколько ключевых точек на графике $y=f(x)$:

• Вершина параболы: $(1, -2)$
• Точка пересечения с осью OY: $(0, -1)$
• Другие точки на параболе: $(2, -1)$, $(-1, 2)$, $(3, 2)$

Теперь для каждой из этих точек найдем соответствующую точку на графике $y = f(-x)$, изменив знак абсциссы ($x$) на противоположный, а ординату ($y$) оставив без изменений:

• $(1, -2) \rightarrow (-1, -2)$ — это будет новая вершина.
• $(0, -1) \rightarrow (0, -1)$ — точка на оси отражения остается на месте.
• $(2, -1) \rightarrow (-2, -1)$
• $(-1, 2) \rightarrow (1, 2)$
• $(3, 2) \rightarrow (-3, 2)$

Соединив новые точки плавной линией, мы получим параболу, симметричную исходной относительно оси OY.

Ответ: Графиком функции $y = f(-x)$ является парабола, симметричная исходной относительно оси OY, с вершиной в точке $(-1, -2)$ и ветвями, направленными вверх. Она проходит через точки $(-3, 2)$, $(-2, -1)$, $(0, -1)$ и $(1, 2)$.

Исходный график — это ломаная линия.
Определим координаты "изломов" (вершин) на графике $y=f(x)$:

• $(-2, 2)$
• $(0, 0)$ (начало координат)
• $(1, -1)$
• $(2, -1)$
• Возьмем еще одну точку на правом луче, например, $(3, 0)$

Применим преобразование симметрии относительно оси OY, то есть заменим $x$ на $-x$:

• $(-2, 2) \rightarrow (2, 2)$
• $(0, 0) \rightarrow (0, 0)$
• $(1, -1) \rightarrow (-1, -1)$
• $(2, -1) \rightarrow (-2, -1)$
• $(3, 0) \rightarrow (-3, 0)$

Соединим полученные точки отрезками в той же последовательности, чтобы получить график функции $y = f(-x)$.

Ответ: Графиком функции $y = f(-x)$ является ломаная линия, проходящая через точки $(2, 2)$, $(0, 0)$, $(-1, -1)$, $(-2, -1)$, $(-3, 0)$ и симметричная исходной относительно оси OY.

Исходный график — это кривая, похожая на график кубической функции.
Определим координаты характерных точек на графике $y=f(x)$:

• Точка пересечения с осью OX: $(-3, 0)$
• Точка локального максимума: $(-2, 3)$
• Точка локального минимума (и пересечения с осями): $(0, 0)$
• Еще одна точка на графике: $(1, 3)$

Отразим эти точки симметрично относительно оси OY:

• $(-3, 0) \rightarrow (3, 0)$
• $(-2, 3) \rightarrow (2, 3)$ — новая точка локального максимума.
• $(0, 0) \rightarrow (0, 0)$ — точка остается на месте, но теперь это точка локального минимума.
• $(1, 3) \rightarrow (-1, 3)$

Проведем через полученные точки плавную кривую, сохраняя форму исходного графика, но в зеркальном отражении.

Ответ: Графиком функции $y = f(-x)$ является кривая, симметричная исходной относительно оси OY. Она проходит через начало координат $(0, 0)$, которое является точкой локального минимума. Точка локального максимума находится в $(2, 3)$. График также проходит через точки $(-1, 3)$ и $(3, 0)$.

2. Постройте график функции $y = \sqrt{x - 2}$. Используя полученный график, постройте график функции $y = \sqrt{-x - 2}$.

Как построить график функции $y = f(|x|)$, если известен график функции $y = f(x)$

Для функции $y = f(|x|)$ можно записать:

$y = f(|x|) = \begin{cases} f(x), \text{если } x \ge 0, \\ f(-x), \text{если } x < 0. \end{cases}$

Отсюда делаем вывод, что график функции $y = f(|x|)$ при $x \ge 0$ совпадает с графиком функции $y = f(x)$, а при $x < 0$ — с графиком функции $y = f(-x)$.

Тогда построение графика функции $y = f(|x|)$ можно проводить по такой схеме:

1) построить ту часть графика функции $y = f(x)$, все точки которой имеют неотрицательные абсциссы;

2) построить ту часть графика функции $y = f(-x)$, все точки которой имеют отрицательные абсциссы.

Объединение этих двух частей и составит график функции $y = f(|x|)$.

На рисунке 70 показано, как с помощью графика функции $y = (x - 2)^2$ построен график функции $y = (|x| - 2)^2$.

Рис. 70

Задача состоит из двух частей. Сначала построим график для первой функции, а затем, используя его, построим график для второй.

1. Базовая функция. В основе этого графика лежит функция квадратного корня $y = \sqrt{x}$. Это стандартная функция, график которой — ветвь параболы, симметричная относительно оси Ox и расположенная в первой координатной четверти.

2. Область определения и область значений базовой функции.

• Область определения $D(y)$: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, поэтому $x \ge 0$.
• Область значений $E(y)$: $y \ge 0$.

3. Ключевые точки для $y = \sqrt{x}$:

• (0, 0)
• (1, 1)
• (4, 2)
• (9, 3)

4. Преобразование графика. Функция $y = \sqrt{x} - 2$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси Oy на 2 единицы вниз. Это преобразование вида $f(x) \to f(x) + c$, где $c = -2$.

5. Построение итогового графика. Чтобы построить график $y = \sqrt{x} - 2$, мы берем ключевые точки графика $y = \sqrt{x}$ и смещаем их на 2 единицы вниз.

• (0, 0) $\to$ (0, 0 - 2) = (0, -2)
• (1, 1) $\to$ (1, 1 - 2) = (1, -1)
• (4, 2) $\to$ (4, 2 - 2) = (4, 0) - это точка пересечения с осью Ox.
• (9, 3) $\to$ (9, 3 - 2) = (9, 1)

6. Область определения и область значений для $y = \sqrt{x} - 2$:

• Область определения не меняется: $D(y): x \ge 0$.
• Область значений смещается на 2 вниз: $E(y): y \ge -2$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x} - 2$ — это график базовой функции $y = \sqrt{x}$, смещенный на 2 единицы вниз вдоль оси ординат. Он начинается в точке (0, -2) и проходит через точки (1, -1), (4, 0), (9, 1).

1. Связь между функциями. Сравним данную функцию $y = \sqrt{-x} - 2$ с построенной ранее функцией $y = \sqrt{x} - 2$. Если мы обозначим $f(x) = \sqrt{x} - 2$, то новая функция будет иметь вид $y = \sqrt{-x} - 2 = f(-x)$.

2. Геометрическое преобразование. Преобразование функции вида $y = f(x)$ в функцию $y = f(-x)$ соответствует симметричному отражению (отображению) графика исходной функции относительно оси Oy.

3. Построение итогового графика. Чтобы получить график функции $y = \sqrt{-x} - 2$, нужно взять построенный нами график $y = \sqrt{x} - 2$ и отразить его симметрично относительно оси y. Каждая точка $(x, y)$ на первом графике перейдет в точку $(-x, y)$ на втором графике.

Возьмем ключевые точки графика $y = \sqrt{x} - 2$ и найдем их образы при отражении:

• (0, -2) $\to$ (-0, -2) = (0, -2) - точка на оси симметрии остается на месте.
• (1, -1) $\to$ (-1, -1)
• (4, 0) $\to$ (-4, 0) - новая точка пересечения с осью Ox.
• (9, 1) $\to$ (-9, 1)

4. Область определения и область значений для $y = \sqrt{-x} - 2$:

• Область определения: подкоренное выражение $-x \ge 0$, что эквивалентно $x \le 0$. Это соответствует отражению области $x \ge 0$ относительно оси Oy.
• Область значений: при отражении относительно вертикальной оси значения y не меняются, поэтому $E(y): y \ge -2$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{-x} - 2$ получается из графика функции $y = \sqrt{x} - 2$ путем симметричного отражения относительно оси Oy. Он начинается в точке (0, -2) и проходит через точки (-1, -1), (-4, 0), (-9, 1), уходя влево и вверх.