Страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

341. Вычислите значение функции $f(x) = 5x^2 - 7x + 2$, если аргумент x равен 1; -2; 4.

Для вычисления значения функции $f(x) = 5x^2 - 7x + 2$ при заданных значениях аргумента $x$, необходимо последовательно подставить каждое из этих значений в формулу функции.

Если аргумент x равен 1:

Подставим $x = 1$ в уравнение функции:
$f(1) = 5(1)^2 - 7(1) + 2$
Выполним вычисления:
$f(1) = 5 \cdot 1 - 7 + 2 = 5 - 7 + 2 = 0$

Ответ: $0$

Если аргумент x равен -2:

Подставим $x = -2$ в уравнение функции:
$f(-2) = 5(-2)^2 - 7(-2) + 2$
Выполним вычисления, учитывая, что $(-2)^2 = 4$ и $-7(-2) = 14$:
$f(-2) = 5 \cdot 4 + 14 + 2 = 20 + 14 + 2 = 36$

Ответ: $36$

Если аргумент x равен 4:

Подставим $x = 4$ в уравнение функции:
$f(4) = 5(4)^2 - 7(4) + 2$
Выполним вычисления, учитывая, что $(4)^2 = 16$:
$f(4) = 5 \cdot 16 - 28 + 2 = 80 - 28 + 2 = 54$

Ответ: $54$

342. Дана функция $f(x) = x^2 - 2x - 15$. Найдите значение аргумента $x$, при котором:

1) $f(x) = 0$;

2) $f(x) = -7$;

3) $f(x) = 33$.

Дана функция $f(x) = x^2 - 2x - 15$. Чтобы найти значение аргумента $x$, при котором функция принимает определенное значение, необходимо приравнять функцию к этому значению и решить полученное уравнение.

1) $f(x) = 0$;

Приравниваем функцию к нулю и получаем квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 15 = 0$

Для решения уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ воспользуемся формулой корней через дискриминант. В данном случае коэффициенты равны: $a=1$, $b=-2$, $c=-15$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Ответ: $x = -3$ или $x = 5$.

2) $f(x) = -7$;

Приравниваем функцию к -7:

$x^2 - 2x - 15 = -7$

Перенесем -7 в левую часть уравнения, чтобы привести его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 2x - 15 + 7 = 0$

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1$, $b=-2$, $c=-8$.

Найдем дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: $x = -2$ или $x = 4$.

3) $f(x) = 33$.

Приравниваем функцию к 33:

$x^2 - 2x - 15 = 33$

Перенесем 33 в левую часть уравнения:

$x^2 - 2x - 15 - 33 = 0$

$x^2 - 2x - 48 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1$, $b=-2$, $c=-48$.

Найдем дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196$

Найдем корни уравнения, зная, что $\sqrt{196} = 14$:

$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 14}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 14}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Ответ: $x = -6$ или $x = 8$.

343. График функции $y = -6x^2 + x + c$ пересекает ось ординат в точке $M(0, -8)$. Найдите значение $c$.

По условию задачи, график функции $y = -6x^2 + x + c$ пересекает ось ординат в точке $M(0, -8)$.

Точка пересечения графика функции с осью ординат — это точка, у которой абсцисса (координата $x$) равна нулю. Если точка принадлежит графику функции, её координаты должны удовлетворять уравнению этой функции.

Подставим координаты точки $M$ (где $x=0$ и $y=-8$) в уравнение функции, чтобы найти неизвестный параметр $c$:
$y = -6x^2 + x + c$
$-8 = -6 \cdot (0)^2 + 0 + c$

Теперь упростим полученное выражение:
$-8 = -6 \cdot 0 + 0 + c$
$-8 = 0 + c$
$c = -8$

Таким образом, значение искомого параметра $c$ равно -8.

Ответ: -8.

344. Определите направление ветвей и координаты вершины параболы:

1) $y = x^2 - 12x + 3;$

2) $y = -x^2 + 4x - 6;$

3) $y = 0,3x^2 + 2,4x - 5;$

4) $y = -5x^2 + 10x + 2.$

1) Для параболы $y = x^2 - 12x + 3$

Уравнение параболы имеет вид $y = ax^2 + bx + c$. В данном случае коэффициенты: $a = 1$, $b = -12$, $c = 3$.
Направление ветвей определяется знаком коэффициента $a$. Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Координаты вершины $(x_0, y_0)$ находим по формулам:
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$.
Для нахождения ординаты вершины подставим значение $x_0$ в уравнение параболы:
$y_0 = (6)^2 - 12(6) + 3 = 36 - 72 + 3 = -33$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(6, -33)$.
Ответ: ветви направлены вверх, вершина в точке $(6, -33)$.

2) Для параболы $y = -x^2 + 4x - 6$

Коэффициенты: $a = -1$, $b = 4$, $c = -6$.
Так как $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Найдем координаты вершины $(x_0, y_0)$:
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = -\frac{4}{-2} = 2$.
Ордината вершины: $y_0 = -(2)^2 + 4(2) - 6 = -4 + 8 - 6 = -2$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(2, -2)$.
Ответ: ветви направлены вниз, вершина в точке $(2, -2)$.

3) Для параболы $y = 0,3x^2 + 2,4x - 5$

Коэффициенты: $a = 0,3$, $b = 2,4$, $c = -5$.
Так как $a = 0,3 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Найдем координаты вершины $(x_0, y_0)$:
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2,4}{2 \cdot 0,3} = -\frac{2,4}{0,6} = -4$.
Ордината вершины: $y_0 = 0,3(-4)^2 + 2,4(-4) - 5 = 0,3 \cdot 16 - 9,6 - 5 = 4,8 - 9,6 - 5 = -9,8$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(-4, -9,8)$.
Ответ: ветви направлены вверх, вершина в точке $(-4, -9,8)$.

4) Для параболы $y = -5x^2 + 10x + 2$

Коэффициенты: $a = -5$, $b = 10$, $c = 2$.
Так как $a = -5 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Найдем координаты вершины $(x_0, y_0)$:
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2 \cdot (-5)} = -\frac{10}{-10} = 1$.
Ордината вершины: $y_0 = -5(1)^2 + 10(1) + 2 = -5 + 10 + 2 = 7$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(1, 7)$.
Ответ: ветви направлены вниз, вершина в точке $(1, 7)$.

345. Постройте график функции:

1) $y = x^2 - 4x - 5$;

2) $y = -x^2 + 2x + 3$;

3) $y = 6x - x^2$;

4) $y = 2x^2 - 8x + 8$;

5) $y = x^2 - 2x + 4$;

6) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3x - 4$;

7) $y = x^2 - 6x + 5$;

8) $y = 2x^2 - 5x + 2$.

1) $y = x^2 - 4x - 5$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Для ее построения найдем основные параметры.

1. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Вершина параболы. Найдем координаты вершины $(x_0, y_0)$ по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$, $y_0 = y(x_0)$. В нашем случае $a = 1$, $b = -4$, $c = -5$.
   $x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
   $y_0 = (2)^2 - 4(2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$.
   Координаты вершины: $(2, -9)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = 2$.

3. Точки пересечения с осями координат.
   - Пересечение с осью Oy: при $x = 0$, $y = 0^2 - 4(0) - 5 = -5$. Точка $(0, -5)$.
   - Пересечение с осью Ox (нули функции): при $y = 0$, решаем уравнение $x^2 - 4x - 5 = 0$.
   Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$.
   $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2}$.
   $x_1 = \frac{4 - 6}{2} = -1$.
   $x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5$.
   Точки пересечения с осью Ox: $(-1, 0)$ и $(5, 0)$.

4. Построение. Отмечаем на координатной плоскости вершину $(2, -9)$, точки пересечения с осями $(-1, 0)$, $(5, 0)$ и $(0, -5)$. Также можно отметить точку, симметричную точке $(0, -5)$ относительно оси симметрии $x=2$, это будет точка $(4, -5)$. Соединяем эти точки плавной кривой, получая параболу.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(2, -9)$, ветвями, направленными вверх. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0, -5)$ и ось Ox в точках $(-1, 0)$ и $(5, 0)$.

2) $y = -x^2 + 2x + 3$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

1. Направление ветвей. Коэффициент $a = -1$. Поскольку $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Вершина параболы. Координаты вершины $(x_0, y_0)$ при $a = -1$, $b = 2$, $c = 3$.
   $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.
   $y_0 = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$.
   Координаты вершины: $(1, 4)$. Ось симметрии: $x = 1$.

3. Точки пересечения с осями координат.
   - Пересечение с осью Oy: при $x = 0$, $y = 3$. Точка $(0, 3)$.
   - Пересечение с осью Ox: при $y = 0$, решаем $-x^2 + 2x + 3 = 0$ или $x^2 - 2x - 3 = 0$.
   По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.
   Точки пересечения с осью Ox: $(-1, 0)$ и $(3, 0)$.

4. Построение. Отмечаем вершину $(1, 4)$, точки пересечения с осями $(-1, 0)$, $(3, 0)$, $(0, 3)$. Точка, симметричная $(0, 3)$ относительно оси $x=1$, это $(2, 3)$. Соединяем точки плавной кривой.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(1, 4)$, ветвями, направленными вниз. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0, 3)$ и ось Ox в точках $(-1, 0)$ и $(3, 0)$.

3) $y = 6x - x^2$

Перепишем функцию в стандартном виде: $y = -x^2 + 6x$. Это парабола.

1. Направление ветвей. Коэффициент $a = -1 < 0$, ветви направлены вниз.

2. Вершина параболы. $a = -1$, $b = 6$, $c = 0$.
   $x_0 = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$.
   $y_0 = -(3)^2 + 6(3) = -9 + 18 = 9$.
   Вершина: $(3, 9)$. Ось симметрии: $x = 3$.

3. Точки пересечения с осями координат.
   - Пересечение с осью Oy: при $x = 0$, $y = 0$. Точка $(0, 0)$.
   - Пересечение с осью Ox: при $y = 0$, решаем $-x^2 + 6x = 0 \Rightarrow -x(x-6) = 0$.
   Корни $x_1 = 0$, $x_2 = 6$.
   Точки пересечения с осью Ox: $(0, 0)$ и $(6, 0)$.

4. Построение. Отмечаем вершину $(3, 9)$ и точки пересечения с осями $(0, 0)$ и $(6, 0)$. Соединяем точки плавной кривой.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(3, 9)$, ветвями, направленными вниз. Парабола проходит через начало координат и пересекает ось Ox также в точке $(6, 0)$.

4) $y = 2x^2 - 8x + 8$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

1. Направление ветвей. Коэффициент $a = 2 > 0$, ветви направлены вверх.

2. Вершина параболы. $a = 2$, $b = -8$, $c = 8$.
   $x_0 = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = 2$.
   $y_0 = 2(2)^2 - 8(2) + 8 = 8 - 16 + 8 = 0$.
   Вершина: $(2, 0)$. Ось симметрии: $x = 2$.

3. Точки пересечения с осями координат.
   - Пересечение с осью Oy: при $x = 0$, $y = 8$. Точка $(0, 8)$.
   - Пересечение с осью Ox: так как $y_0=0$, вершина параболы лежит на оси Ox. Следовательно, есть только одна точка пересечения (касания) - это сама вершина $(2, 0)$.

4. Построение. Отмечаем вершину $(2, 0)$ и точку пересечения с осью Oy $(0, 8)$. Находим симметричную ей точку относительно оси $x=2$: $(4, 8)$. Соединяем точки плавной кривой, учитывая, что парабола "сжата" к оси Oy из-за коэффициента $a=2$.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(2, 0)$, ветвями, направленными вверх. Парабола касается оси Ox в своей вершине и пересекает ось Oy в точке $(0, 8)$.

5) $y = x^2 - 2x + 4$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

1. Направление ветвей. Коэффициент $a = 1 > 0$, ветви направлены вверх.

2. Вершина параболы. $a = 1$, $b = -2$, $c = 4$.
   $x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
   $y_0 = (1)^2 - 2(1) + 4 = 1 - 2 + 4 = 3$.
   Вершина: $(1, 3)$. Ось симметрии: $x = 1$.

3. Точки пересечения с осями координат.
   - Пересечение с осью Oy: при $x = 0$, $y = 4$. Точка $(0, 4)$.
   - Пересечение с осью Ox: решаем $x^2 - 2x + 4 = 0$.
   $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$.
   Так как $D < 0$, действительных корней нет, и парабола не пересекает ось Ox. Она полностью расположена выше оси Ox, так как ее ветви направлены вверх, а вершина находится в точке $(1, 3)$.

4. Построение. Отмечаем вершину $(1, 3)$ и точку $(0, 4)$. Находим симметричную ей точку относительно оси $x=1$: $(2, 4)$. Соединяем эти три точки плавной кривой.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(1, 3)$, ветвями, направленными вверх. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0, 4)$ и не пересекает ось Ox.

6) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3x - 4$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

1. Направление ветвей. Коэффициент $a = -1/2 < 0$, ветви направлены вниз.

2. Вершина параболы. $a = -1/2$, $b = 3$, $c = -4$.
   $x_0 = -\frac{3}{2 \cdot (-1/2)} = -\frac{3}{-1} = 3$.
   $y_0 = -\frac{1}{2}(3)^2 + 3(3) - 4 = -\frac{9}{2} + 9 - 4 = -4.5 + 5 = 0.5$.
   Вершина: $(3, 0.5)$. Ось симметрии: $x = 3$.

3. Точки пересечения с осями координат.
   - Пересечение с осью Oy: при $x = 0$, $y = -4$. Точка $(0, -4)$.
   - Пересечение с осью Ox: решаем $-\frac{1}{2}x^2 + 3x - 4 = 0$. Умножим на -2: $x^2 - 6x + 8 = 0$.
   По теореме Виета, корни $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.
   Точки пересечения с осью Ox: $(2, 0)$ и $(4, 0)$.

4. Построение. Отмечаем вершину $(3, 0.5)$, точки пересечения с осями $(2, 0)$, $(4, 0)$ и $(0, -4)$. Соединяем точки плавной кривой, учитывая, что парабола "шире", чем стандартная, из-за $|a|=1/2$.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(3, 0.5)$, ветвями, направленными вниз. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0, -4)$ и ось Ox в точках $(2, 0)$ и $(4, 0)$.

7) $y = x^2 - 6x + 5$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

1. Направление ветвей. Коэффициент $a = 1 > 0$, ветви направлены вверх.

2. Вершина параболы. $a = 1$, $b = -6$, $c = 5$.
   $x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$.
   $y_0 = (3)^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$.
   Вершина: $(3, -4)$. Ось симметрии: $x = 3$.

3. Точки пересечения с осями координат.
   - Пересечение с осью Oy: при $x = 0$, $y = 5$. Точка $(0, 5)$.
   - Пересечение с осью Ox: решаем $x^2 - 6x + 5 = 0$.
   По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.
   Точки пересечения с осью Ox: $(1, 0)$ и $(5, 0)$.

4. Построение. Отмечаем вершину $(3, -4)$, точки пересечения с осями $(1, 0)$, $(5, 0)$ и $(0, 5)$. Находим симметричную точку к $(0, 5)$: $(6, 5)$. Соединяем точки плавной кривой.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(3, -4)$, ветвями, направленными вверх. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0, 5)$ и ось Ox в точках $(1, 0)$ и $(5, 0)$.

8) $y = 2x^2 - 5x + 2$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

1. Направление ветвей. Коэффициент $a = 2 > 0$, ветви направлены вверх.

2. Вершина параболы. $a = 2$, $b = -5$, $c = 2$.
   $x_0 = -\frac{-5}{2 \cdot 2} = \frac{5}{4} = 1.25$.
   $y_0 = 2(\frac{5}{4})^2 - 5(\frac{5}{4}) + 2 = 2(\frac{25}{16}) - \frac{25}{4} + 2 = \frac{25}{8} - \frac{50}{8} + \frac{16}{8} = -\frac{9}{8} = -1.125$.
   Вершина: $(1.25, -1.125)$. Ось симметрии: $x = 1.25$.

3. Точки пересечения с осями координат.
   - Пересечение с осью Oy: при $x = 0$, $y = 2$. Точка $(0, 2)$.
   - Пересечение с осью Ox: решаем $2x^2 - 5x + 2 = 0$.
   $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
   $x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}$.
   $x_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$.
   $x_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
   Точки пересечения с осью Ox: $(0.5, 0)$ и $(2, 0)$.

4. Построение. Отмечаем вершину $(1.25, -1.125)$, точки пересечения с осями $(0.5, 0)$, $(2, 0)$ и $(0, 2)$. Находим симметричную точку к $(0, 2)$: $(2.5, 2)$. Соединяем точки плавной кривой.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(1.25, -1.125)$, ветвями, направленными вверх. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0, 2)$ и ось Ox в точках $(0.5, 0)$ и $(2, 0)$.

346. Постройте график функции:

1) $y = x^2 + 2x - 8;$

2) $y = x^2 - 2x;$

3) $y = -x^2 + 4x - 5;$

4) $y = 2x^2 - 2x - 4.$

1) $y = x^2 + 2x - 8$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=1$, $b=2$, $c=-8$. Графиком является парабола.

1. Направление ветвей. Так как коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
Ордината вершины: $y_0 = y(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9$.
Вершина параболы находится в точке $(-1, -9)$. Ось симметрии — прямая $x = -1$.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью $Oy$: при $x=0$, $y = 0^2 + 2(0) - 8 = -8$. Точка пересечения — $(0, -8)$.
С осью $Ox$: при $y=0$, решаем уравнение $x^2 + 2x - 8 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$.
Точки пересечения — $(2, 0)$ и $(-4, 0)$.

4. Дополнительные точки.
Найдем точку, симметричную точке $(0, -8)$ относительно оси симметрии $x=-1$. Ее абсцисса будет $x = -2$. Точка $(-2, -8)$.
Для построения графика используем найденные точки: вершину $(-1, -9)$, точки пересечения с осями $(2, 0)$, $(-4, 0)$, $(0, -8)$ и симметричную ей точку $(-2, -8)$.

Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями вверх, вершиной в точке $(-1, -9)$, пересекающая ось $Oy$ в точке $(0, -8)$ и ось $Ox$ в точках $(2, 0)$ и $(-4, 0)$.

2) $y = x^2 - 2x$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=1$, $b=-2$, $c=0$. Графиком является парабола.

1. Направление ветвей. Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
Ордината вершины: $y_0 = y(1) = 1^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$.
Вершина параболы находится в точке $(1, -1)$. Ось симметрии — прямая $x = 1$.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью $Oy$: при $x=0$, $y = 0^2 - 2(0) = 0$. Точка пересечения — $(0, 0)$.
С осью $Ox$: при $y=0$, решаем уравнение $x^2 - 2x = 0$, или $x(x - 2) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.
Точки пересечения — $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

4. Дополнительные точки.
Возьмем точку $x = -1$. $y(-1) = (-1)^2 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$. Точка $(-1, 3)$.
Симметричная ей точка относительно оси $x=1$ будет иметь абсциссу $x=3$. $y(3) = 3^2 - 2(3) = 9-6=3$. Точка $(3, 3)$.
Для построения графика используем точки: вершину $(1, -1)$, точки пересечения с осями $(0, 0)$, $(2, 0)$ и дополнительные точки $(-1, 3)$ и $(3, 3)$.

Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями вверх, вершиной в точке $(1, -1)$, проходящая через начало координат и пересекающая ось $Ox$ в точке $(2, 0)$.

3) $y = -x^2 + 4x - 5$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=-1$, $b=4$, $c=-5$. Графиком является парабола.

1. Направление ветвей. Так как $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$.
Ордината вершины: $y_0 = y(2) = -(2)^2 + 4(2) - 5 = -4 + 8 - 5 = -1$.
Вершина параболы находится в точке $(2, -1)$. Ось симметрии — прямая $x = 2$.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью $Oy$: при $x=0$, $y = -0^2 + 4(0) - 5 = -5$. Точка пересечения — $(0, -5)$.
С осью $Ox$: при $y=0$, решаем уравнение $-x^2 + 4x - 5 = 0$ или $x^2 - 4x + 5 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.
Так как $D < 0$, действительных корней нет, и парабола не пересекает ось $Ox$.

4. Дополнительные точки.
Найдем точку, симметричную точке $(0, -5)$ относительно оси $x=2$. Ее абсцисса $x = 4$. Точка $(4, -5)$.
Возьмем $x=1$. $y(1) = -1^2 + 4(1) - 5 = -1 + 4 - 5 = -2$. Точка $(1, -2)$.
Симметричная ей точка будет иметь абсциссу $x=3$. Точка $(3, -2)$.
Для построения используем точки: вершину $(2, -1)$, точку $(0, -5)$ и симметричную ей $(4, -5)$, а также точки $(1, -2)$ и $(3, -2)$.

Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями вниз, вершиной в точке $(2, -1)$, пересекающая ось $Oy$ в точке $(0, -5)$ и не пересекающая ось $Ox$.

4) $y = 2x^2 - 2x - 4$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=2$, $b=-2$, $c=-4$. Графиком является парабола.

1. Направление ветвей. Так как $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$.
Ордината вершины: $y_0 = y(0.5) = 2(0.5)^2 - 2(0.5) - 4 = 2(0.25) - 1 - 4 = 0.5 - 5 = -4.5$.
Вершина параболы находится в точке $(0.5, -4.5)$. Ось симметрии — прямая $x = 0.5$.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью $Oy$: при $x=0$, $y = 2(0)^2 - 2(0) - 4 = -4$. Точка пересечения — $(0, -4)$.
С осью $Ox$: при $y=0$, решаем уравнение $2x^2 - 2x - 4 = 0$, или $x^2 - x - 2 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Точки пересечения — $(2, 0)$ и $(-1, 0)$.

4. Дополнительные точки.
Найдем точку, симметричную точке $(0, -4)$ относительно оси $x=0.5$. Ее абсцисса $x=1$. Точка $(1, -4)$.
Для построения используем точки: вершину $(0.5, -4.5)$, точки пересечения с осями $(-1, 0)$, $(2, 0)$, $(0, -4)$ и симметричную ей точку $(1, -4)$.

Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями вверх, вершиной в точке $(0.5, -4.5)$, пересекающая ось $Oy$ в точке $(0, -4)$ и ось $Ox$ в точках $(-1, 0)$ и $(2, 0)$.

347. Постройте график функции $f(x) = x^2 - 6x + 8$. Используя график, найдите:

1) $f(6)$; $f(1)$;

2) значения $x$, при которых $f(x) = 8$; $f(x) = -1$; $f(x) = -2$;

3) наибольшее и наименьшее значения функции;

4) область значений функции;

5) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

6) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения, а при каких — отрицательные.

Сначала построим график функции $f(x) = x^2 - 6x + 8$. Это квадратичная функция, ее график — парабола.

1. Направление ветвей. Так как коэффициент при $x^2$ равен $1$ ($a=1 > 0$), ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины. Абсцисса вершины параболы находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$.
Ордината вершины: $y_0 = f(x_0) = f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 8 = 9 - 18 + 8 = -1$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3, -1)$.

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью OY (при $x=0$): $f(0) = 0^2 - 6 \cdot 0 + 8 = 8$. Точка пересечения — $(0, 8)$.
- С осью OX (при $f(x)=0$): решаем уравнение $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$. Точки пересечения — $(2, 0)$ и $(4, 0)$.

4. Дополнительные точки. Для более точного построения найдем значения функции в нескольких дополнительных точках, используя ось симметрии $x=3$.
- При $x=1$: $f(1) = 1^2 - 6 \cdot 1 + 8 = 3$. Точка $(1, 3)$.
- Симметричная ей точка относительно оси $x=3$ будет иметь абсциссу $x=5$. $f(5) = 5^2 - 6 \cdot 5 + 8 = 25 - 30 + 8 = 3$. Точка $(5, 3)$.
- Симметричная точке $(0,8)$ будет иметь абсциссу $x=6$. $f(6) = 6^2 - 6 \cdot 6 + 8 = 36-36+8 = 8$. Точка $(6, 8)$.

На основе этих точек (вершина $(3, -1)$, точки пересечения с осями $(0, 8)$, $(2, 0)$, $(4, 0)$ и дополнительные точки $(1, 3)$, $(5, 3)$, $(6, 8)$) можно построить график параболы.

Используя построенный график, найдем требуемые значения.

1) $f(6); f(1)$

Чтобы найти значение функции при заданном значении аргумента, нужно найти на графике точку с соответствующей абсциссой и определить ее ординату.
Для $x=6$ находим на графике точку $(6, 8)$, следовательно, $f(6)=8$.
Для $x=1$ находим на графике точку $(1, 3)$, следовательно, $f(1)=3$.
Ответ: $f(6) = 8$; $f(1) = 3$.

2) значения $x$, при которых $f(x) = 8; f(x) = -1; f(x) = -2$

Чтобы найти значения $x$, при которых $f(x)=k$, нужно найти абсциссы точек пересечения графика функции $y=f(x)$ с горизонтальной прямой $y=k$.
- $f(x) = 8$: Прямая $y=8$ пересекает параболу в точках, абсциссы которых равны $0$ и $6$.
- $f(x) = -1$: Прямая $y=-1$ касается параболы в ее вершине. Абсцисса этой точки равна $3$.
- $f(x) = -2$: Прямая $y=-2$ проходит ниже вершины параболы $(3, -1)$ и не имеет с графиком общих точек. Значит, уравнение $f(x)=-2$ не имеет решений.
Ответ: при $f(x)=8$, $x=0$ или $x=6$; при $f(x)=-1$, $x=3$; при $f(x)=-2$ решений нет.

3) наибольшее и наименьшее значения функции

График функции — парабола с ветвями, направленными вверх. Наименьшее значение функция принимает в своей вершине. Ордината вершины равна $-1$.
Поскольку ветви параболы неограниченно уходят вверх, наибольшего значения у функции не существует.
Ответ: наименьшее значение функции равно $-1$; наибольшего значения не существует.

4) область значений функции

Область значений — это множество всех значений, которые принимает функция $f(x)$. Так как наименьшее значение функции равно $-1$, а ветви направлены вверх, функция принимает все значения от $-1$ включительно до $+\infty$.
Ответ: $E(f) = [-1; +\infty)$.

5) промежуток возрастания и промежуток убывания функции

Функция убывает слева от вершины и возрастает справа от нее. Абсцисса вершины $x=3$.
Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; 3]$.
Функция возрастает на промежутке $[3; +\infty)$.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 3]$ и возрастает на промежутке $[3; +\infty)$.

6) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения, а при каких — отрицательные

Значения функции положительны ($f(x)>0$), когда ее график находится выше оси OX. Это происходит левее корня $x=2$ и правее корня $x=4$.
Значения функции отрицательны ($f(x)<0$), когда ее график находится ниже оси OX. Это происходит между корнями $x=2$ и $x=4$.
Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)$; отрицательные значения при $x \in (2; 4)$.

348. Постройте график функции $f(x) = -x^2 - 6x - 5$. Используя график, найдите:

1) область значений функции;

2) промежуток возрастания функции;

3) множество решений неравенства $f(x) > 0$.

Для того чтобы построить график функции $f(x) = -x^2 - 6x - 5$ и ответить на поставленные вопросы, необходимо провести анализ этой функции.

Функция $f(x) = -x^2 - 6x - 5$ является квадратичной, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-1$ (отрицательное число), ветви параболы направлены вниз.

1. Найдем вершину параболы.

Координаты вершины $(x_v, y_v)$ находятся по формулам:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-6}{-2} = -3$.
$y_v = f(x_v) = f(-3) = -(-3)^2 - 6(-3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-3; 4)$.

2. Найдем точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy (x = 0):
$f(0) = -0^2 - 6 \cdot 0 - 5 = -5$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0; -5)$.

Пересечение с осью Ox (y = 0, или f(x) = 0):
Решим уравнение $-x^2 - 6x - 5 = 0$.
Умножим обе части на $-1$:
$x^2 + 6x + 5 = 0$.
Используем теорему Виета: произведение корней равно 5, а сумма корней равна -6. Корни уравнения: $x_1 = -5$ и $x_2 = -1$.
Точки пересечения с осью Ox: $(-5; 0)$ и $(-1; 0)$.

3. Построение графика.

Отметим на координатной плоскости вершину $(-3; 4)$, точки пересечения с осями $(-5; 0)$, $(-1; 0)$, $(0; -5)$ и, используя симметрию относительно оси $x = -3$, найдем еще одну точку: $(-6; -5)$. Соединим точки плавной линией, получим параболу.

Теперь, используя построенный график, ответим на вопросы.

1) область значений функции;
Область значений функции — это все возможные значения, которые принимает переменная $y$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, а ее наивысшая точка — это вершина с ординатой $y=4$, то функция принимает все значения от $-\infty$ до $4$ включительно.
Ответ: $(-\infty; 4]$.

2) промежуток возрастания функции;
Функция возрастает там, где ее график идет вверх (слева направо). Для параболы с ветвями вниз это происходит на участке до ее вершины. Абсцисса вершины $x_v = -3$. Следовательно, функция возрастает на промежутке от $-\infty$ до $-3$.
Ответ: $(-\infty; -3]$.

3) множество решений неравенства $f(x) > 0$.
Неравенство $f(x) > 0$ означает, что мы ищем те значения $x$, при которых график функции находится выше оси Ox. Из анализа точек пересечения мы знаем, что график пересекает ось Ox в точках $x=-5$ и $x=-1$. Между этими точками парабола находится выше оси. Так как неравенство строгое, сами точки $x=-5$ и $x=-1$ не включаются в решение.
Ответ: $(-5; -1)$.

349. Постройте график функции $f(x) = x - 0.5x^2$. Используя график, найдите:

1) область значений функции;

2) промежуток возрастания функции;

3) при каких значениях $x$ выполняется неравенство $f(x) \le 0$.

Для решения задачи сначала построим график функции $f(x) = x - 0,5x^2$.

Это квадратичная функция, которую можно записать в стандартном виде $f(x) = -0,5x^2 + x$. Её график — парабола.

1. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -0,5$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины. Вершина параболы $(x_в, y_в)$ вычисляется по формулам:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-0,5)} = -\frac{1}{-1} = 1$.

$y_в = f(x_в) = f(1) = 1 - 0,5 \cdot 1^2 = 1 - 0,5 = 0,5$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1; 0,5)$.

3. Точки пересечения с осями координат.

• С осью OY (при $x=0$): $f(0) = 0 - 0,5 \cdot 0^2 = 0$. Точка пересечения — $(0; 0)$.

• С осью OX (при $f(x)=0$):

  $x - 0,5x^2 = 0$

  $x(1 - 0,5x) = 0$

  Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $1 - 0,5x = 0 \implies 0,5x = 1 \implies x_2 = 2$.

  Точки пересечения с осью OX — $(0; 0)$ и $(2; 0)$.

4. Дополнительные точки. Ось симметрии параболы — прямая $x=1$. Найдем несколько точек для более точного построения:

• При $x = -1$: $f(-1) = -1 - 0,5(-1)^2 = -1 - 0,5 = -1,5$. Точка $(-1; -1,5)$.

• При $x = 3$: $f(3) = 3 - 0,5(3)^2 = 3 - 4,5 = -1,5$. Точка $(3; -1,5)$.

На основе полученных данных (вершина в $(1; 0,5)$, точки пересечения с осями $(0; 0)$ и $(2; 0)$, дополнительные точки) мы можем построить график — параболу с ветвями, направленными вниз.

Теперь, используя свойства построенного графика, ответим на вопросы задачи.

1) область значений функции;

Область значений функции — это все возможные значения, которые может принимать $y$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, ее наибольшее значение достигается в вершине. Ордината вершины равна $0,5$. Следовательно, функция принимает все значения, не превышающие $0,5$.

Ответ: $E(f) = (-\infty; 0,5]$.

2) промежуток возрастания функции;

Функция возрастает на том промежутке, где ее график идет вверх (слева направо). Для параболы с ветвями вниз это происходит на промежутке от минус бесконечности до абсциссы вершины. Абсцисса вершины $x_в = 1$.

Ответ: $(-\infty; 1]$.

3) при каких значениях x выполняется неравенство f(x) ≤ 0.

Неравенство $f(x) \le 0$ выполняется для тех значений $x$, при которых график функции находится на оси OX или ниже нее. Мы выяснили, что график пересекает ось OX в точках $x = 0$ и $x = 2$. Так как ветви параболы направлены вниз, график находится ниже оси OX на промежутках левее первого корня и правее второго.

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [2; +\infty)$.

350. Постройте график функции $f(x) = 3x^2 - 6x$. Используя график, найдите:

1) область значений функции;

2) промежуток убывания функции;

3) при каких значениях x выполняется неравенство $f(x) \geq 0$.

Для построения графика функции $f(x) = 3x^2 - 6x$ определим основные характеристики. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 3 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

Ордината вершины — это значение функции в точке $x_0=1$:

$y_0 = f(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, -3)$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат.

С осью OY (x=0):

$f(0) = 3(0)^2 - 6(0) = 0$. Точка пересечения — $(0, 0)$.

С осью OX (y=0):

$3x^2 - 6x = 0$

$3x(x - 2) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Точки пересечения — $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

Для более точного построения найдем еще одну точку. Возьмем $x = 3$:

$f(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 3 \cdot 9 - 18 = 27 - 18 = 9$. Точка — $(3, 9)$.

Построим параболу, проходящую через точки $(0, 0)$, $(2, 0)$, с вершиной в точке $(1, -3)$ и проходящую через точку $(3, 9)$. Ветви параболы направлены вверх.

Используя построенный график, ответим на вопросы.

1) область значений функции

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $y$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, а ее вершина находится в точке $(1, -3)$, наименьшее значение функции равно $-3$. Все остальные значения больше этого. Таким образом, область значений функции — это все числа от $-3$ включительно до $+\infty$.

Ответ: $E(f) = [-3; +\infty)$.

2) промежуток убывания функции

Функция убывает на том промежутке, где при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается. Глядя на график, мы видим, что это происходит на левой ветви параболы, то есть до ее вершины. Абсцисса вершины равна 1. Следовательно, функция убывает на промежутке от $-\infty$ до 1 включительно.

Ответ: $(-\infty; 1]$.

3) при каких значениях х выполняется неравенство $f(x) \ge 0$

Неравенство $f(x) \ge 0$ выполняется для тех значений $x$, при которых график функции находится на оси OX или выше нее. Мы нашли, что график пересекает ось OX в точках $x=0$ и $x=2$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, график находится выше оси OX слева от точки $x=0$ и справа от точки $x=2$. Включая сами точки пересечения, получаем два промежутка.

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [2; +\infty)$.