Страница 93 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

334. Задайте данную функцию формулой вида $y = \frac{k}{x+a} + b$ и постройте её график, используя график функции $y = \frac{k}{x}$:

1) $y = \frac{3x + 8}{x}$;

2) $y = \frac{2x + 14}{x + 3}$;

3) $y = \frac{-2x}{x - 1}$.

1) $y = \frac{3x+8}{x}$

Для того чтобы задать данную функцию формулой вида $y = \frac{k}{x+a} + b$, преобразуем исходное выражение, разделив числитель на знаменатель почленно:

$y = \frac{3x+8}{x} = \frac{3x}{x} + \frac{8}{x} = 3 + \frac{8}{x}$

Таким образом, функция принимает вид $y = \frac{8}{x} + 3$. В данном случае коэффициенты равны $k=8$, $a=0$, $b=3$.

График этой функции — гипербола. Его можно построить, используя график базовой функции $y = \frac{8}{x}$. График $y = \frac{8}{x}$ представляет собой гиперболу, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Чтобы получить график функции $y = \frac{8}{x} + 3$, необходимо сдвинуть (выполнить параллельный перенос) график $y = \frac{8}{x}$ на 3 единицы вверх вдоль оси ординат $Oy$.

Асимптоты графика: вертикальная асимптота $x=0$ (ось $Oy$) и горизонтальная асимптота $y=3$.

Ответ: $y = \frac{8}{x} + 3$; график функции получается из графика $y = \frac{8}{x}$ сдвигом на 3 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

2) $y = \frac{2x+14}{x+3}$

Чтобы привести функцию к виду $y = \frac{k}{x+a} + b$, выделим целую часть дроби. Для этого в числителе выразим слагаемое, содержащее знаменатель $(x+3)$:

$y = \frac{2x+14}{x+3} = \frac{2x+6+8}{x+3} = \frac{2(x+3)+8}{x+3} = \frac{2(x+3)}{x+3} + \frac{8}{x+3} = 2 + \frac{8}{x+3}$

Запишем в требуемом формате: $y = \frac{8}{x+3} + 2$. Здесь коэффициенты равны $k=8$, $a=3$, $b=2$.

График этой функции — гипербола. Его можно получить из графика базовой функции $y = \frac{8}{x}$ с помощью параллельного переноса. Сдвиг происходит на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс $Ox$ (поскольку $a=3$) и на 2 единицы вверх вдоль оси ординат $Oy$ (поскольку $b=2$).

Асимптоты графика: вертикальная асимптота $x=-3$ и горизонтальная асимптота $y=2$.

Ответ: $y = \frac{8}{x+3} + 2$; график получается сдвигом графика $y = \frac{8}{x}$ на 3 единицы влево и на 2 единицы вверх.

3) $y = \frac{-2x}{x-1}$

Выделим целую часть дроби, представив числитель в виде, содержащем знаменатель $(x-1)$:

$y = \frac{-2x}{x-1} = \frac{-2x+2-2}{x-1} = \frac{-2(x-1)-2}{x-1} = \frac{-2(x-1)}{x-1} - \frac{2}{x-1} = -2 - \frac{2}{x-1}$

Запишем в требуемом формате: $y = \frac{-2}{x-1} - 2$. Здесь коэффициенты равны $k=-2$, $a=-1$ (так как знаменатель $x-1 = x+(-1)$), $b=-2$.

График этой функции — гипербола. Его можно построить, используя график базовой функции $y = \frac{-2}{x}$. Так как $k=-2 < 0$, ветви базовой гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Чтобы получить искомый график, необходимо сдвинуть график $y = \frac{-2}{x}$ на 1 единицу вправо вдоль оси $Ox$ (поскольку $a=-1$) и на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$ (поскольку $b=-2$).

Асимптоты графика: вертикальная асимптота $x=1$ и горизонтальная асимптота $y=-2$.

Ответ: $y = \frac{-2}{x-1} - 2$; график получается сдвигом графика $y = \frac{-2}{x}$ на 1 единицу вправо и на 2 единицы вниз.

335. Задайте данную функцию формулой вида $y = \frac{k}{x+a} + b$ и постройте её график, используя график функции $y = \frac{k}{x}$:

1) $y = \frac{4x+14}{x+1}$;

2) $y = \frac{7-x}{x-2}$.

Дана функция $y = \frac{4x+14}{x+1}$.

Для того чтобы представить её в виде $y = \frac{k}{x+a} + b$, выделим целую часть из дроби. Для этого преобразуем числитель:

$4x+14 = 4x+4+10 = 4(x+1)+10$.

Теперь подставим это выражение обратно в формулу функции:

$y = \frac{4(x+1)+10}{x+1} = \frac{4(x+1)}{x+1} + \frac{10}{x+1} = 4 + \frac{10}{x+1}$.

Таким образом, функция принимает вид $y = \frac{10}{x+1} + 4$.

Для построения графика этой функции, мы используем график базовой функции $y = \frac{10}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты этой гиперболы — оси координат $x=0$ и $y=0$.

График функции $y = \frac{10}{x+1} + 4$ получается из графика функции $y = \frac{10}{x}$ с помощью двух последовательных преобразований:

1. Сдвиг графика $y = \frac{10}{x}$ на 1 единицу влево вдоль оси Ox. Получаем график функции $y = \frac{10}{x+1}$. Вертикальная асимптота смещается в положение $x=-1$.
2. Сдвиг полученного графика на 4 единицы вверх вдоль оси Oy. Получаем график искомой функции $y = \frac{10}{x+1} + 4$. Горизонтальная асимптота смещается в положение $y=4$.

Итак, график функции $y = \frac{4x+14}{x+1}$ — это гипербола с асимптотами $x=-1$ и $y=4$, полученная сдвигом графика $y=\frac{10}{x}$ на 1 единицу влево и на 4 единицы вверх.

Ответ: $y = \frac{10}{x+1} + 4$. График функции — гипербола, полученная из графика $y=\frac{10}{x}$ сдвигом на 1 единицу влево и 4 единицы вверх. Асимптоты: $x=-1$, $y=4$.

Дана функция $y = \frac{7-x}{x-2}$.

Представим её в виде $y = \frac{k}{x+a} + b$. Сначала преобразуем числитель, чтобы выделить в нём выражение, равное знаменателю $(x-2)$:

$7-x = -x+7 = -(x-7) = -(x-2-5) = -(x-2) + 5$.

Подставим полученное выражение в формулу функции:

$y = \frac{-(x-2)+5}{x-2} = \frac{-(x-2)}{x-2} + \frac{5}{x-2} = -1 + \frac{5}{x-2}$.

Таким образом, функция принимает вид $y = \frac{5}{x-2} - 1$.

Для построения графика этой функции, мы используем график базовой функции $y = \frac{5}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях ($k=5>0$). Асимптоты этой гиперболы — оси координат $x=0$ и $y=0$.

График функции $y = \frac{5}{x-2} - 1$ получается из графика функции $y = \frac{5}{x}$ с помощью двух последовательных преобразований:

1. Сдвиг графика $y = \frac{5}{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Получаем график функции $y = \frac{5}{x-2}$. Вертикальная асимптота смещается в положение $x=2$.
2. Сдвиг полученного графика на 1 единицу вниз вдоль оси Oy. Получаем график искомой функции $y = \frac{5}{x-2} - 1$. Горизонтальная асимптота смещается в положение $y=-1$.

Итак, график функции $y = \frac{7-x}{x-2}$ — это гипербола с асимптотами $x=2$ и $y=-1$, полученная сдвигом графика $y=\frac{5}{x}$ на 2 единицы вправо и на 1 единицу вниз.

Ответ: $y = \frac{5}{x-2} - 1$. График функции — гипербола, полученная из графика $y=\frac{5}{x}$ сдвигом на 2 единицы вправо и 1 единицу вниз. Асимптоты: $x=2$, $y=-1$.

336. Упростите выражение:

1) $\frac{5a - 3}{8a} + \frac{a + 9}{4a}$;

2) $\frac{5a - 6b}{ab} + \frac{5b - 5c}{bc}$;

3) $\frac{8a + 5b}{5ab^2} - \frac{2a - 7b}{2a^2b}$;

4) $\frac{m^2 + 4n^2}{8m^4n^4} - \frac{3m + 4n}{6m^5n^2}$.

1) Чтобы сложить дроби $\frac{5a - 3}{8a} + \frac{a + 9}{4a}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $8a$ и $4a$ — это $8a$. Дополнительный множитель для второй дроби равен $2$, так как $8a : 4a = 2$.

$\frac{5a - 3}{8a} + \frac{a + 9}{4a} = \frac{5a - 3}{8a} + \frac{2 \cdot (a + 9)}{2 \cdot 4a} = \frac{5a - 3}{8a} + \frac{2a + 18}{8a}$

Теперь сложим числители, оставив знаменатель без изменений:

$\frac{(5a - 3) + (2a + 18)}{8a} = \frac{5a - 3 + 2a + 18}{8a}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(5a + 2a) + (-3 + 18)}{8a} = \frac{7a + 15}{8a}$

Ответ: $\frac{7a + 15}{8a}$

2) Для сложения дробей $\frac{5a - 6b}{ab} + \frac{5b - 5c}{bc}$ найдем общий знаменатель. Наименьший общий знаменатель для $ab$ и $bc$ — это $abc$. Дополнительный множитель для первой дроби — $c$, для второй — $a$.

$\frac{c \cdot (5a - 6b)}{c \cdot ab} + \frac{a \cdot (5b - 5c)}{a \cdot bc} = \frac{5ac - 6bc}{abc} + \frac{5ab - 5ac}{abc}$

Сложим числители:

$\frac{5ac - 6bc + 5ab - 5ac}{abc}$

Приведем подобные слагаемые в числителе: $5ac$ и $-5ac$ взаимно уничтожаются.

$\frac{5ab - 6bc}{abc}$

Вынесем общий множитель $b$ в числителе за скобки и сократим дробь:

$\frac{b(5a - 6c)}{abc} = \frac{5a - 6c}{ac}$

Ответ: $\frac{5a - 6c}{ac}$

3) Чтобы вычесть дроби $\frac{8a + 5b}{5ab^2} - \frac{2a - 7b}{2a^2b}$, найдем общий знаменатель. Наименьший общий знаменатель для $5ab^2$ и $2a^2b$ — это $10a^2b^2$. Дополнительный множитель для первой дроби — $2a$, для второй — $5b$.

$\frac{2a \cdot (8a + 5b)}{2a \cdot 5ab^2} - \frac{5b \cdot (2a - 7b)}{5b \cdot 2a^2b} = \frac{16a^2 + 10ab}{10a^2b^2} - \frac{10ab - 35b^2}{10a^2b^2}$

Вычтем числители:

$\frac{(16a^2 + 10ab) - (10ab - 35b^2)}{10a^2b^2} = \frac{16a^2 + 10ab - 10ab + 35b^2}{10a^2b^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе: $10ab$ и $-10ab$ взаимно уничтожаются.

$\frac{16a^2 + 35b^2}{10a^2b^2}$

Ответ: $\frac{16a^2 + 35b^2}{10a^2b^2}$

4) Для вычитания дробей $\frac{m^2 + 4n^2}{8m^4n^4} - \frac{3m + 4n}{6m^5n^2}$ найдем общий знаменатель. Наименьший общий знаменатель для $8m^4n^4$ и $6m^5n^2$ — это $24m^5n^4$. Дополнительный множитель для первой дроби — $3m$, для второй — $4n^2$.

$\frac{3m \cdot (m^2 + 4n^2)}{3m \cdot 8m^4n^4} - \frac{4n^2 \cdot (3m + 4n)}{4n^2 \cdot 6m^5n^2} = \frac{3m^3 + 12mn^2}{24m^5n^4} - \frac{12mn^2 + 16n^3}{24m^5n^4}$

Вычтем числители:

$\frac{(3m^3 + 12mn^2) - (12mn^2 + 16n^3)}{24m^5n^4} = \frac{3m^3 + 12mn^2 - 12mn^2 - 16n^3}{24m^5n^4}$

Приведем подобные слагаемые в числителе: $12mn^2$ и $-12mn^2$ взаимно уничтожаются.

$\frac{3m^3 - 16n^3}{24m^5n^4}$

Ответ: $\frac{3m^3 - 16n^3}{24m^5n^4}$

337. Сократите дробь:

1) $\frac{9 + \sqrt{m}}{m - 81}$;

2) $\frac{\sqrt{27} + \sqrt{45}}{\sqrt{18} + \sqrt{30}}$;

3) $\frac{\sqrt{5m} + \sqrt{7n}}{5m + 2\sqrt{35mn} + 7n}$;

4) $\frac{25m + 10n\sqrt{3m} + 3n^2}{5\sqrt{m} + n\sqrt{3}}$.

1) Для сокращения дроби $\frac{9 + \sqrt{m}}{m - 81}$ необходимо разложить знаменатель на множители. Знаменатель $m - 81$ можно представить как разность квадратов, так как $m = (\sqrt{m})^2$ и $81 = 9^2$. Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, получаем:
$m - 81 = (\sqrt{m})^2 - 9^2 = (\sqrt{m} - 9)(\sqrt{m} + 9)$.
Теперь подставим разложенный знаменатель обратно в дробь:
$\frac{9 + \sqrt{m}}{(\sqrt{m} - 9)(\sqrt{m} + 9)}$
Выражение $(9 + \sqrt{m})$ в числителе и $(\sqrt{m} + 9)$ в знаменателе равны. Сократим их:
$\frac{\cancel{9 + \sqrt{m}}}{(\sqrt{m} - 9)\cancel{(\sqrt{m} + 9)}} = \frac{1}{\sqrt{m} - 9}$
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{m} - 9}$

2) Рассмотрим дробь $\frac{\sqrt{27} + \sqrt{45}}{\sqrt{18} + \sqrt{30}}$. Для ее сокращения упростим каждый из корней, вынеся множитель из-под знака корня.
В числителе:
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$
Таким образом, числитель равен $3\sqrt{3} + 3\sqrt{5} = 3(\sqrt{3} + \sqrt{5})$.
В знаменателе:
$\sqrt{18} = \sqrt{6 \cdot 3} = \sqrt{6}\sqrt{3}$
$\sqrt{30} = \sqrt{6 \cdot 5} = \sqrt{6}\sqrt{5}$
Таким образом, знаменатель равен $\sqrt{6}\sqrt{3} + \sqrt{6}\sqrt{5} = \sqrt{6}(\sqrt{3} + \sqrt{5})$.
Подставим упрощенные выражения в дробь:
$\frac{3(\sqrt{3} + \sqrt{5})}{\sqrt{6}(\sqrt{3} + \sqrt{5})}$
Сократим общий множитель $(\sqrt{3} + \sqrt{5})$:
$\frac{3}{\sqrt{6}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$:
$\frac{3 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2}$
Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$

3) Рассмотрим дробь $\frac{\sqrt{5m} + \sqrt{7n}}{5m + 2\sqrt{35mn} + 7n}$. Знаменатель $5m + 2\sqrt{35mn} + 7n$ представляет собой формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Определим $a$ и $b$:
Пусть $a^2 = 5m$, тогда $a = \sqrt{5m}$.
Пусть $b^2 = 7n$, тогда $b = \sqrt{7n}$.
Проверим удвоенное произведение $2ab$:
$2ab = 2 \cdot \sqrt{5m} \cdot \sqrt{7n} = 2\sqrt{35mn}$.
Это совпадает со средним членом знаменателя, значит, знаменатель можно свернуть по формуле квадрата суммы:
$5m + 2\sqrt{35mn} + 7n = (\sqrt{5m} + \sqrt{7n})^2$.
Подставим это выражение в дробь:
$\frac{\sqrt{5m} + \sqrt{7n}}{(\sqrt{5m} + \sqrt{7n})^2}$
Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{5m} + \sqrt{7n})$:
$\frac{1}{\sqrt{5m} + \sqrt{7n}}$
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{5m} + \sqrt{7n}}$

4) Рассмотрим дробь $\frac{25m + 10n\sqrt{3m} + 3n^2}{5\sqrt{m} + n\sqrt{3}}$. Числитель $25m + 10n\sqrt{3m} + 3n^2$ является полным квадратом по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Определим $a$ и $b$:
Пусть $a^2 = 25m$, тогда $a = \sqrt{25m} = 5\sqrt{m}$.
Пусть $b^2 = 3n^2$, тогда $b = \sqrt{3n^2} = n\sqrt{3}$.
Проверим удвоенное произведение $2ab$:
$2ab = 2 \cdot 5\sqrt{m} \cdot n\sqrt{3} = 10n\sqrt{3m}$.
Средний член совпадает, следовательно, числитель можно представить в виде квадрата суммы:
$25m + 10n\sqrt{3m} + 3n^2 = (5\sqrt{m} + n\sqrt{

338. Числитель обыкновенной дроби на 1 меньше её знаменателя. Если числитель и знаменатель дроби уменьшить на 1, то её значение уменьшится на $ \frac{1}{12} $. Найдите эту дробь.

Пусть знаменатель искомой дроби равен $x$. Согласно условию, числитель на 1 меньше знаменателя, следовательно, числитель равен $x-1$.

Таким образом, исходная дробь имеет вид $\frac{x-1}{x}$.

Если числитель и знаменатель этой дроби уменьшить на 1, то новый числитель станет $(x-1)-1 = x-2$, а новый знаменатель станет $x-1$. Новая дробь будет равна $\frac{x-2}{x-1}$.

По условию задачи, значение исходной дроби больше значения новой дроби на $\frac{1}{12}$. Мы можем составить и решить уравнение:

$\frac{x-1}{x} - \frac{x-2}{x-1} = \frac{1}{12}$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-1)$. Также отметим, что $x \ne 0$ и $x \ne 1$.

$\frac{(x-1)(x-1)}{x(x-1)} - \frac{x(x-2)}{x(x-1)} = \frac{1}{12}$

$\frac{(x-1)^2 - x(x-2)}{x(x-1)} = \frac{1}{12}$

Раскроем скобки и упростим числитель левой части:

$\frac{(x^2 - 2x + 1) - (x^2 - 2x)}{x^2 - x} = \frac{1}{12}$

$\frac{x^2 - 2x + 1 - x^2 + 2x}{x^2 - x} = \frac{1}{12}$

$\frac{1}{x^2 - x} = \frac{1}{12}$

Из этого равенства следует, что знаменатели дробей равны:

$x^2 - x = 12$

Перенесем 12 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - x - 12 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Поскольку в понятии "обыкновенная дробь" обычно подразумеваются натуральные числа в числителе и знаменателе, мы выбираем положительный корень $x=4$.

Если знаменатель равен 4, то числитель равен $x-1 = 4-1 = 3$.

Искомая дробь — $\frac{3}{4}$.

Проверим найденное решение.

Исходная дробь: $\frac{3}{4}$. Числитель (3) на 1 меньше знаменателя (4). Условие выполняется.

Уменьшаем числитель и знаменатель на 1: получаем дробь $\frac{3-1}{4-1} = \frac{2}{3}$.

Находим разность: $\frac{3}{4} - \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3}{12} - \frac{2 \cdot 4}{12} = \frac{9-8}{12} = \frac{1}{12}$.

Значение дроби уменьшилось на $\frac{1}{12}$. Второе условие также выполняется.

Ответ: $\frac{3}{4}$

339. Докажите, что при положительных значениях $a$ и $b$ выполняется неравенство $a^3 + b^3 \ge a^2b + ab^2$.

Для доказательства данного неравенства преобразуем его, перенеся все члены в левую часть:
$a^3 + b^3 \ge a^2b + ab^2$
$a^3 + b^3 - a^2b - ab^2 \ge 0$

Теперь сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:
$(a^3 - a^2b) - (ab^2 - b^3) \ge 0$
$a^2(a - b) - b^2(a - b) \ge 0$

Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:
$(a^2 - b^2)(a - b) \ge 0$

Разложим выражение $(a^2 - b^2)$ по формуле разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$(a - b)(a + b)(a - b) \ge 0$
$(a - b)^2(a + b) \ge 0$

Проанализируем полученное выражение.
По условию задачи, значения $a$ и $b$ положительные, то есть $a > 0$ и $b > 0$.
1. Множитель $(a - b)^2$ является полным квадратом, поэтому он всегда неотрицателен, то есть $(a - b)^2 \ge 0$ при любых $a$ и $b$.
2. Множитель $(a + b)$ является суммой двух положительных чисел, поэтому он строго положителен, то есть $(a + b) > 0$.

Произведение неотрицательного числа ($(a - b)^2$) и положительного числа ($(a + b)$) всегда будет неотрицательным. Таким образом, неравенство $(a - b)^2(a + b) \ge 0$ является верным.
Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство $a^3 + b^3 \ge a^2b + ab^2$ также является верным.
Ответ: Неравенство доказано.