Номер 334, страница 93 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

334. Задайте данную функцию формулой вида $y = \frac{k}{x+a} + b$ и постройте её график, используя график функции $y = \frac{k}{x}$:

1) $y = \frac{3x + 8}{x}$;

2) $y = \frac{2x + 14}{x + 3}$;

3) $y = \frac{-2x}{x - 1}$.

1) $y = \frac{3x+8}{x}$

Для того чтобы задать данную функцию формулой вида $y = \frac{k}{x+a} + b$, преобразуем исходное выражение, разделив числитель на знаменатель почленно:

$y = \frac{3x+8}{x} = \frac{3x}{x} + \frac{8}{x} = 3 + \frac{8}{x}$

Таким образом, функция принимает вид $y = \frac{8}{x} + 3$. В данном случае коэффициенты равны $k=8$, $a=0$, $b=3$.

График этой функции — гипербола. Его можно построить, используя график базовой функции $y = \frac{8}{x}$. График $y = \frac{8}{x}$ представляет собой гиперболу, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Чтобы получить график функции $y = \frac{8}{x} + 3$, необходимо сдвинуть (выполнить параллельный перенос) график $y = \frac{8}{x}$ на 3 единицы вверх вдоль оси ординат $Oy$.

Асимптоты графика: вертикальная асимптота $x=0$ (ось $Oy$) и горизонтальная асимптота $y=3$.

Ответ: $y = \frac{8}{x} + 3$; график функции получается из графика $y = \frac{8}{x}$ сдвигом на 3 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

2) $y = \frac{2x+14}{x+3}$

Чтобы привести функцию к виду $y = \frac{k}{x+a} + b$, выделим целую часть дроби. Для этого в числителе выразим слагаемое, содержащее знаменатель $(x+3)$:

$y = \frac{2x+14}{x+3} = \frac{2x+6+8}{x+3} = \frac{2(x+3)+8}{x+3} = \frac{2(x+3)}{x+3} + \frac{8}{x+3} = 2 + \frac{8}{x+3}$

Запишем в требуемом формате: $y = \frac{8}{x+3} + 2$. Здесь коэффициенты равны $k=8$, $a=3$, $b=2$.

График этой функции — гипербола. Его можно получить из графика базовой функции $y = \frac{8}{x}$ с помощью параллельного переноса. Сдвиг происходит на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс $Ox$ (поскольку $a=3$) и на 2 единицы вверх вдоль оси ординат $Oy$ (поскольку $b=2$).

Асимптоты графика: вертикальная асимптота $x=-3$ и горизонтальная асимптота $y=2$.

Ответ: $y = \frac{8}{x+3} + 2$; график получается сдвигом графика $y = \frac{8}{x}$ на 3 единицы влево и на 2 единицы вверх.

3) $y = \frac{-2x}{x-1}$

Выделим целую часть дроби, представив числитель в виде, содержащем знаменатель $(x-1)$:

$y = \frac{-2x}{x-1} = \frac{-2x+2-2}{x-1} = \frac{-2(x-1)-2}{x-1} = \frac{-2(x-1)}{x-1} - \frac{2}{x-1} = -2 - \frac{2}{x-1}$

Запишем в требуемом формате: $y = \frac{-2}{x-1} - 2$. Здесь коэффициенты равны $k=-2$, $a=-1$ (так как знаменатель $x-1 = x+(-1)$), $b=-2$.

График этой функции — гипербола. Его можно построить, используя график базовой функции $y = \frac{-2}{x}$. Так как $k=-2 < 0$, ветви базовой гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Чтобы получить искомый график, необходимо сдвинуть график $y = \frac{-2}{x}$ на 1 единицу вправо вдоль оси $Ox$ (поскольку $a=-1$) и на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$ (поскольку $b=-2$).

Асимптоты графика: вертикальная асимптота $x=1$ и горизонтальная асимптота $y=-2$.

Ответ: $y = \frac{-2}{x-1} - 2$; график получается сдвигом графика $y = \frac{-2}{x}$ на 1 единицу вправо и на 2 единицы вниз.